Metoda limitelor

Din egalitatea (a) rezultă că

Această inegalitate este la fel de imposibilă, deci presupunerea A

Astfel, numai egalitatea rămâne valabilă: A = B (BTD).

Teorema 130. Raportul dintre cantitățile care se apropie este egal cu raportul dintre limitele lor.

Două cantități aproximative sunt date

X = A + α și Y = B + β

Este necesar să se demonstreze că X / Y = A / B.

Dovada. Raportul celor două cantități apropiate va fi

Indicați valoarea finită a acestui raport cu l, apoi

A + α este o cantitate apropiată având limita A; Bl + Bβ este o cantitate aproximativă având limita valorii lui Bl.

Pe baza teoremei precedente, egalitatea (1) conduce la egalitate

În consecință, l = A / B din care

(A + α) / (B + β) = A / B (BTD).

Teorema 131. Linia poligonală exterioară este mai mare decât curba convexă din interiorul liniei poligonale.

Dovada. Dacă curba ABC nu este mai mică decât orice poligon extern (Fig. 203), atunci ar exista un astfel de poligon extern, care ar fi fost mai mică decât oricare altă curbă ABC poligonal externă și, prin urmare, mai puțin.

Lăsați ADEC să fie o astfel de linie întreruptă.

În acest caz, este întotdeauna posibil să se petreacă ca segmente Mn, PQ, astfel încât acestea nu traversează curba ABC, apoi a format un nou polilinie AmnpqC, care este mai mică decât ADEC, pentru

mn pq

Adăugând la aceste inegalități cantitățile Am, np, qC, obținem:

mn + pq + Am + np + qC sau AmnpqC

Astfel, prezumția că există o linie poligonală exterioară mai mică decât o curbă nu se păstrează.

De aici rezultă corolarul. Perimetrul poligonului descris este mai mare decât un cerc.

Teorema 132. Diferența dintre perimetrul unui poligon cu același nume descris și înscris împreună cu numărul de laturi poate fi făcut mai mic decât orice valoare dată.

Notând cu P și p perimetrele poligonului descris și inscripționat cu n laturi (Figura 204), știm că

(P - p) / p = (OA - Oa) / Oa, (P - p) / p = Aa / Oa, P - p = (Aa / Oa) p (a)

Perimetrul orice poligon poligon mai lung perimetru, care constă în aceea, perimetrul p mai mic decât perimetrul unui pătrat descris.

Perimetrul pătratului descris este 8 · Oa (8 raze), deci p <8 · Oa.

Introducerea 8 · Oa în cea de-a doua parte a egalității (a) în loc de p, o creștem, prin urmare,

P - p <8 · Oa · (Aa/Oa) или
P - p <8Aa

Prin dublarea numărului de laturi Aa lungimea segmentului pot fi realizate mai mici decât orice mărime dată, pentru dublarea numărului de laturi ale unghiului AOB, și, prin urmare, unghiul de AON sunt reduse, iar înclinat AO se apropie perpendicular pe nO, astfel încât diferența dintre indirectă și perpendiculara poate fi făcută mai mică decât de orice magnitudine.

Teorema 133. Pe măsură ce crește numărul de laturi, perimetrele poligoanelor descrise și inscripționate se apropie de aceeași limită.

Dovada. Din inegalitate

Odată cu dublarea numărului de laturi, perimetrul poligonului descris scade, iar perimetrul înscrisului crește. Deoarece limita lui Aa este 0, limita (P - p) = 0. P = prev. p sau lim P = lim p (PTC).

Teorema 134. Un cerc este limita perimetrilor poligoanelor înscrise și descrise.

Atunci când dubla numărul de laturi, perimetrul poligonului obișnuit descris scade, iar perimetrul celui înscris crește. În acest caz, perimetrul poligonului descris este mai mare, iar inscripția este mai mică decât un cerc. Deoarece diferența dintre perimetrul poligonului circumscris și inscripționată poate fi făcută mai mică decât orice valoare dată, atunci cu siguranță cu gradual dublarea numărului de laturi ale diferenței dintre perimetrele poligoane regulate descrise și o circumferință, precum și între circumferința și circumferințele inscripționată poligoane regulate pot fi mai mici decât orice valoare dată , prin urmare:

Un cerc este limita perimetrilor poligoanelor inscripționate și descrise.

Teorema 135. Cercurile sunt proporționale cu razele.

Dovada. Indicați lungimile a două cercuri prin O și O ', raza lor prin R și R'.

Să adăugăm poligoane regulate cu n laturi în ambele cercuri. Denumind perimetrele lor de Pn și Pn, avem egalitatea

atunci ecuația precedentă dă

Odată cu creșterea treptată a numărului de laturi diferențe a și β între cercurile și circumferințele inscriptionate poligon poate fi făcută o importanță mai mică această valoare, prin urmare, diferența dintre O - α, O „- valorile p se apropie, iar cantitățile O și O“ a limitelor lor. Pe baza teoremei 130, avem egalitatea (O - α) / (O '- β) = O / O', de la

Pe baza

O / R = O '/ R' sau O / 2R = O '/ 2R'

consecința urmează. raportul dintre fiecare cerc și diametrul său este o valoare constantă.

Acest raport constant al circumferinței la diametru este numit litera π.

Circumferința este egală cu raza înmulțită cu 2π.

Aici lungimea este exprimată în aceleași unități în care este exprimată raza.

Numărul abstract al π este o cantitate incomensurabilă.

Mărimea aproximativă a lui 22/7 este dată de Archimedes. Ea exprimă adevărata valoare a lui π la 0,01.

Mecius, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea, a găsit pentru o valoare aproximativă de 355/113 = 3,141592 cu o precizie de 0,000001.

Această relație este ușor de reținut dacă este prezentată sub formă

Lungimea arcului având n grade. Circumferința are 360 ​​°. Lungimea unui cerc de rază R este exprimată prin formula 2πR. Lungimea unui grad va fi valoarea (2πR) / 360.

Notând cu lungimea unui arc de n grade, avem:

Formula (a) se referă la trei cantități: n numărul de grade al arcului, lungimea lui și R raza cercului. Aceasta face posibilă determinarea uneia dintre ele de celelalte două.

Definiția lui π

O formulă care exprimă circumferința unui cerc,

ia pentru R = 1 formularul

din care se poate observa că 2π expune lungimea unui cerc descris de o rază egală cu una.

Pentru a determina π, se calculează perimetrele poligoanelor regulate înscrise și descrise cu același număr de laturi. Circumferința se află între perimetrele acestor poligoane. Este mai mică decât circumferințele poligoanelor circumscrise și mai multe perimetre. Diferența dintre perimetre va indica în ce măsură se află eroarea în definirea cercului și deci în definiția lui π.

Pentru a reduce această eroare în definirea lui π, se calculează succesiv perimetrele poligoanelor cu dublul numărului de laturi.

Diferența dintre perimetrele lor va fi mai mică și mai mică și, prin urmare, precizia cu care se poate determina crește.

Denumirea lungimii laterale a poligonilor obișnuiți având laturi n inscripționate printr-o. descrisă de An și de raza de r, folosim formula pentru a determina lungimea laterală a unui poligon inscripționat cu dublul numărului de laturi:

ci pentru a determina partea poligonului descrisă de-a lungul laturii înscrise de formula:

Notând cu Pn și pn perimetrele poligonului obișnuit descris și inscripționat, avem:

Valoarea aproximată a lui π satisface inegalitățile:

în care an și An sunt calculate pentru un cerc cu o rază egală cu 1, deci r = 1 în formulele care le definesc.

Formulele (1) și (2) pentru r = 1 au forma:

Presupunând că n = 6, pentru a6 de partea unui hexagon regulat înscris pentru r = 1, avem:

Înmulțind aceste valori cu numărul de laturi, avem următorul tabel de perimetre ale poligoanelor normale inscripționate și descrise ale numărului corespunzător de laturi, calculat cu până la 6 zecimale

Din acest tabel vedem că diferența dintre perimetrele poligoanelor obișnuite înscrise și descrise scade.

Pentru un 96-gon, el este deja mai mic decât 0,01, iar pentru un poligon cu 3072 laturi, acesta este mai mic decât 0,00001.

Arhimedes a stabilit calculul laturii celor 96 de goni și a dat o valoare aproximativă lui π la 0,01. Mecii a dat pentru π o valoare de π = 355/113 = 3.1415920 cu o precizie de 0.000001.

Articole similare

• Kit pentru prelevarea probelor pentru enterobioză prin metoda lui Rabinovich (pentru diagnosticarea viermilor)

• Stabilit pentru prelevarea probelor pentru entorobioză folosind metoda lui Rabinovici

• Tratamentul tradițional al diabetului zaharat de tip 2 - medicamente, prescripții, medicină, cum să tratăm, metode, metode

Trimiteți-le prietenilor: