Un integral al formulei unde n este un număr natural.
Folosirea funcției de substituție este raționalizată.
Dacă funcția irațională include rădăcini de grade diferite. atunci ca o nouă variabilă este rațional să luăm o rădăcină de grad egal cu cel mai mic număr comun de grade ale rădăcinilor care intră în expresie.
Integrarea diferențialelor binomiale.
Def. Un diferențial binomial este o expresie
x m (a + bx n) p dx
unde m, n și p sunt numere raționale.
Așa cum a demonstrat academicianul Chebyshev PL. (1821-1894), integralele diferențialului binomial pot fi exprimate prin funcții elementare numai în următoarele trei cazuri:
1) Dacă p este un număr întreg, atunci integramentul este raționalizat prin substituire. unde l este numitorul comun al m și n.
2) Dacă este un număr întreg, atunci integramentul este raționalizat prin substituire
. unde s este numitorul p.
3) Dacă este un număr întreg, atunci se folosește substituția. unde s este numitorul p.
Prin substituții, integrala este redusă la unul din trei tipuri:
care sunt calculate în următoarele moduri.
1 fel. Înlocuirea trigonometrică.
Teorema. Un element integrat al formei prin substituție sau
reduce la un integral al unei funcții raționale în ceea ce privește sint sau costul.
Teorema. Un integral al formei prin substituție este redus la integrarea unei funcții raționale în ceea ce privește sintul și costul.
Teorema. Un integral al formei prin substituție este redus la integrarea unei funcții raționale în raport cu sintul sau costul.
2 fel. Înlocuirea lui Euler.
1) Dacă a> 0, atunci integralitatea formei este raționalizată prin substituire.
2) Dacă a<0 и c>0, atunci integrarea formei este raționalizată prin substituire.
3) Dacă a<0. а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x– x1 )(x– x2 ), то интеграл вида рационализируется подстановкой .
3 moduri. Metoda coeficienților nedeterminate.
Luați în considerare integralele următoarelor trei tipuri:
unde P (x) este un polinom, n este un număr natural.
Integralele II și III de tipul pot fi ușor reduse la forma integrala a tipului m.
Se efectuează următoarea transformare:
în această expresie Q (x) este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul de polinom P (x), iar l este o constantă.
Pentru a găsi coeficienții nedeterminat Q polinomului (x), al cărei grad este mai mic decât gradul de polinomul P (x), ambele părți diferite ale expresiei rezultată este apoi multiplicată cu și comparând coeficienții aceleași puteri ale lui x, L și determină coeficienții polinomului Q (x).
Această metodă este avantajoasă dacă gradul de polinom P (x) este mai mare decât unul. În caz contrar, este posibil să se folosească cu succes metodele de integrare a fracțiunilor raționale, considerate mai sus, deoarece funcția liniară este derivatul expresiei radicand.
Trimiteți-le prietenilor: