Denumim X prin setul finit, iar elementele lui cu 1,2. n. Considerăm toate bijecțiile (permutările) s: X ® X. Este ușor de observat că ei formează un grup în ceea ce privește funcționarea compozițiilor mapărilor. Acest grup este numit grupul simetric al puterii n și este notat cu Sn sau cu S (X). Este ușor să arătăm că | Sn | = n !. De exemplu, grupul S3 constă din șase substituții:
Linia de jos arată imaginile elementelor 1, 2, 3, situate în linia de sus. În calculul produsului substituțiilor s1 s2, suntem de acord să realizăm maparea de la dreapta la stânga; mai întâi harta s2. și apoi s1. De exemplu:
Subgrupurile unui grup simetric se numesc grupuri de permutare.
O substituție a formei 1 ® 2 ® 3 ® ... ®k ® 1 este numită un ciclu de lungime k și este notat cu (1,2, ..., k). Două cicluri sunt numite independente dacă elementele pe care le mișcă sunt perechi diferite. Ciclurile independente merg, adică pentru ei condiția s1 s2 = s2 s1 este îndeplinită. Un ciclu de lungime 2 se numește transpunere.
Teorema 1. Fiecare substituție este descompusă în mod unic într-un produs de cicluri independente.
Teorema 2. Fiecare substituție tÎ Sn este produsul transpozițiilor.
Nici o unicitate nu poate fi exclusă de la întrebare, numai pentru că pentru orice transpunere și înlocuire avem st 2 = s. Cu toate acestea, caracterul parității numărului k în expansiunea substituției în produsul transpozițiilor p = t1 t2 ... tk este determinat de substituția p unică. De fapt, multiplicarea unei substituții printr-o transpoziție schimbă caracterul parității permutației p = a1a2 ... an de către cel opus. Prin urmare, dacă transpunerile t1 t2 ... tk conduc o permutare a1a2 ... a la forma 1, ..., n, atunci p = tk ... t1. și vice versa, prin urmare caracterul parității substituției p coincide cu caracterul parității permutării a1a2 ... an. Permutarea se spune ca este par sau impar, in functie de paritatea numarului k.
Teorema 3. Pentru n> 1, numărul de permutări uniforme este egal cu numărul de permutări impare și este egal cu n / 2.
Nu este greu de arătat că toate permutările uniforme formează un subgrup al lui Sn. Acest subgrup este numit un grup alternativ și este notat cu An. Pentru n> 1 avem descompunerea Sn = An È(1.2) An. Prin urmare, [Sn: An] = 2. Pentru orice substituție pÎClasele adiacente ale clasei pAn și Anp constau în toate permutările par sau impare în funcție de paritatea substituției p. Prin urmare, Sn Teorema 4 (Cayley). Fiecare grup finit G este izomorf la un subgrup al grupului simetric Sn, unde η = | G |.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: