Am considerat deja ecuațiile Euler de ordinul doi. Cu ajutorul anumitor permutări, o astfel de ecuație se reduce la o ecuație diferențială omogenă, cu coeficienți constanți. Astfel de transformări sunt de asemenea folosite în cazul unei ecuații de ordine n-a. Să analizăm în detaliu două metode de rezolvare a ecuațiilor de un anumit tip.
1. Soluția ecuației Euler a ordinului \ (n \) cu ajutorul substituției \ (x = 1)
2. Soluția ecuației Euler a ordinului \ (n \) sub forma unei funcții de putere \ (y = 1)
Să luăm în considerare un alt mod de a rezolva ecuația lui Euler. Să presupunem că soluția are forma unei funcții de putere \ (y =, \) unde exponentul (k) este determinat în cursul soluției. Derivații funcției \ (y \) pot fi ușor de exprimat în următoarea formă: \ [y '= k>, \] \ [y "= k \ left (\ right) (\ dreapta) \ stânga (\ dreapta)> \] \ [\ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \] \ [>> = \ dreapta) \ cdots \ stânga (\ . dreapta)> \ right] >> \] Substituind aceasta în ecuația inițială omogenă Euler și împărțind-o în \ (y = \ ne 0 \) imediat obținem ecuația caracteristică: \ [\ dreapta) \ cdots \ stânga (\ dreapta) > \\ cdots> +> k + = 0,> \] care într-o formă mai compactă poate fi scrisă ca \ [^ \ \ \ stânga [\ right] \ cdots \ stânga (\ dreapta)> \ right]> + = 0,> \; \; \; \; = 1.> \] Rezolvind ecuația caracteristică, găsim rădăcinile ei și apoi construim soluția generală a ecuației diferențiale. În expresia finală, este necesar să revenim la variabila originală \ (x, \) folosind substituția \ (t = \ ln x. \)
3. Ecuația inechitabilă Euler a ordinii superioare
În general, ecuația neomogenă Euler este reprezentat \ [> \ stânga (x \ dreapta) +> \ dreapta) >> \ stânga (x \ dreapta) + \ cdots> +> xy „\ stânga (x \ dreapta) + y \ stânga (x \ dreapta) = f \ stânga (x \ dreapta),> \; \; 0.> \] Folosind substituție \ (y = \) ecuatia Euler neomogen poate fi transformată într-o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți. Astfel, dacă în partea dreaptă a ecuației inițiale este de forma \ [f \ stânga (x \ dreapta) = \ stânga (\ dreapta) \] unde \ (\) - un polinom de grad \ (m, \) ecuația neomogenă apoi soluția particular obținută poate găsiți prin metoda coeficienților nedeterminați.Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: