Dacă k este un subcâmp de K, atunci mai spunem că K este o extensie a lui k. Rețineți că extinderea caracteristicilor câmpului este păstrată. De fapt, câmpul 0 cuprinde k caracteristici subcâmp Q izomorfă - câmp de numere raționale și caracteristici ale câmpului k p> 0 - subdomeniul GF câmp izomorfă (p) - reziduu modulo p. Prin definiție, o mai mare câmp de extensie K conține aceeași subdomeniul și deci are aceeași caracteristică.
Să ne amintim că spațiul vectorial peste o pluralitate de k se numește X (vectori) pentru care operațiile de adunare și înmulțire a vectorilor câmpului vectorial pe elementul (scalare), cu următoarele proprietăți:
1. În ceea ce privește adăugarea, vectorii formează un grup abelian.
Este evident că câmpul K poate fi considerat ca un spațiu vectorial peste k: plus vectorul este interpretat ca adăugarea de elemente ale câmpului K, și multiplicarea prin multiplicarea scalară atât în același domeniu (pentru fiecare k scalară în același timp, este un element de K). Proprietățile 1-5 rezultă din definiția câmpului. Astfel, toate rezultatele cunoscute de noi referitoare la spațiile vectoriale sunt aplicabile în cazul extinderii câmpului. În special, se poate vorbi despre dimensiunea lui K peste k. Acest număr este numit gradul de expansiune și este notat cu [K: k]. Dacă gradul de extensie este finit, atunci extensia însăși se consideră a fi finită.
1. Câmpul C al numerelor complexe este o extensie a câmpului R al numerelor reale. Deoarece fiecare număr complex este scris unic ca + bi, numerele 1 și i formează baza C peste R și prin urmare [C: R] = 2.
2. Luați în considerare câmpul R ca o extensie a câmpului numerelor raționale Q. Vom arăta că gradul de prelungire este infinit. Pentru a face acest lucru, este suficient ca fiecare n să specifice un sistem de numere reale care este liniar independent față de Q. Să presupunem că ,. . Să presupunem că pentru unele rațiuni avem egalitatea: = 0. Atunci polinomul cu coeficienți raționali q = are o rădăcină x =. Cu toate acestea, aceeași rădăcină are un polinom ireductibil, care, prin urmare, împarte polinomul q. Acest lucru este posibil numai în cazul în care polinomul q este zero, ceea ce demonstrează afirmația noastră.
Teorema privind gradul de extindere a compozitelor.
Lăsați câmpul F este o extensie a câmpului k, iar K - extinderea F. Apoi, expansiunea [K: k] este dată de: [K: k] = [K: F] [F: k].
Fie o bază a lui K peste F și o bază a lui F peste k. Pentru fiecare U K avem: U =, unde. Dar, unde. Prin urmare, fiecare element al câmpului K este scris ca o combinație liniară a elementelor k peste numărul de bucăți nm. Rămâne să verifice independența lor liniară. În cazul în care
= 0, atunci, deoarece sunt liniar independente față de F, pentru fiecare
i = 1. n = 0. Dar ele sunt independente liniar față de k și, prin urmare, totul.
Extinderea prin atașarea elementelor.
Să presupunem că avem k câmp și elementele care aparțin unele mai câmp K. mai mic (prin includerea formatului) subcâmp K, care cuprinde câmp k și k desemnează toate elementele () și k se numește o extensie de elemente atașare. Dacă n = 1, atunci extensia este considerată a fi simplă. și elementul corespunzător U se numește elementul generator al extensiei simple.
1. Dacă totul este, atunci k () = k.
2. Dacă k = R. U = a + bi C, unde b 0, atunci extensia simplă R (U) coincide cu C. Într-adevăr, R (U) conține U și toate numerele reale. Dar apoi
i = 1 / b (U-a) R (U) și, prin urmare, orice număr complex p + qi R (U).
3. Câmpul Q () conține setul X al tuturor numerelor reale, care poate fi scris în formularul a + b, unde a, b Q.
Să verificăm dacă X este un câmp și prin urmare să stabilim că Q () = X. Amintiți-vă că un subset T al k este un câmp dacă și numai dacă
a) T conține 0 și 1.
b) Împreună cu oricare două elemente t și s T conține diferența lor t-s.
c) Împreună cu oricare două elemente t și s 0, T conține coeficientul t / s.
Condițiile a) și b) pentru X sunt în mod evident satisfăcute. Pentru a verifica c) este necesar să "distruge iraționalitatea" în numitorul fracțiunii (a + b) / (c + d). Din algebra elementară se știe că pentru aceasta este suficient să se înmulțească numitorul și numitorul cu c-d. Astfel, [Q (): Q] = 2 și elementele 1 și 1 formează baza.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: