Pentru a obține o idee despre acuratețea cele mai simple aproximări ale valorile derivatelor de la punctele nodale definite de (20,6) - (20.10), (20,12), vom presupune că funcția f (x) are suficientă pentru a îndepărta termenii reziduali de finețe.
Cunoașterea structurii expresiilor aproximative pentru derivatele obținute din motive de interpolare permite cu ușurință (cel puțin pentru aproximări simetrice) să-și retragă membrii rămași cu formula manipulând expansiuni f (x) cu formula ordinea adecvată Taylor. Vom arăta asta.
Cea mai simplă aproximare asimetrică f ¢ (xi) (formule din prima ordine de precizie). Se scrie reprezentarea funcției f (x) de formula Taylor într-o vecinătate a punctului xi:
Exprimând f ¢ (x) din asta, avem
Primul termen din partea dreaptă a acestei ecuații este relația diferenței aproximând derivatul din apropierea lui xi. iar al doilea este termenul rest, care caracterizează acuratețea unei astfel de aproximări. Atunci când x = xi este fixat în (20.13), un punct necunoscut este, de asemenea, fixat; Astfel ajungem la formula de aproximare stanga f ¢ (xi) cu termenul rest:
În mod similar, pentru x = xi + 1, de la (20.13), obținem formula pentru aproximarea corectă f ¢ (xi) cu termenul rest:
În egalitate aproximativă
când i = 1 derivat anterior învață formula (20,6), (20.7), iar termenii rămași în (20,14) (20,15) sugerează faptul că, prin utilizarea aproximări (20,16) (20,17) efectuam eroare O (h) , și anume aceste formule au primul ordin de precizie. Anumite informații despre erorile aproximațiilor din stânga și din dreapta ale primei ordini oferă cunoașterea semnelor celorlalte termeni.
Cea mai simplă aproximare simetrică este f ¢ (xi) (formula de precizie de ordinul doi). Din expansiune
Finalizând scăderea parțială a ultimelor două egalități, obținem
prin urmare, folosind teorema valorii medii aplicată la suma celor trei derivați în paranteze pătrate, ajungem la formula aproximată simetrică f ¢ (xi) cu termenul restul:
iar forma termenului său restul înseamnă că aproximația (6.19) are o a doua ordine de precizie în raport cu pasul h.
Cele mai simple aproximări ale celui de-al doilea derivat. Din vedere
de la care se adaugă termenul
Exprimând din ultima egalitate, ajungem la formula de aproximare simetrică cu termenul rest:
Termenul rest al acestei formule este caracterizat de o egalitate aproximativă
ca o aproximare a celui de-al doilea derivat la punctul xi, a ordinii de acuratețe a doua, adică cu o eroare O (h 2).
Același raport (20.21) utilizat ca aproximație asimetrică a celui de-al doilea derivat al funcției f (x), adică pentru a calcula valorile aproximative și dă doar prima ordine de precizie.
Generarea paginii: 0.005 sec.
Trimiteți-le prietenilor: