Produsul a două grupuri cu subgrupe ciclice de index 2 este produsul a două grupuri

În 1953, B. Huppert a stabilit solvabilitatea unui grup finit, produs de două subgrupe dihedral. Dezvoltând acest rezultat, W. Scott a obținut solvabilitatea grupului finit.





admițând, de asemenea, așa-numitele grupuri diciclice ca multiplicatori. Aceste rezultate sunt descrise suficient de detaliat în monografie. Grupurile diridice și diciclice conțin subgrupe ciclice de index 2, dar departe de epuizarea întregii clase de grupuri cu subgrupe ciclice de index 2.

Toate definițiile și notațiile întâlnite sunt acceptate în general. În special, setul de primii divizori de ordine. a este un grup ciclic de ordine.

Lemma 1. Un grup de ordine metaciclice pentru o prime ciudată este indecompostabil într-un produs semidirect al unui subgrup ordinar obișnuit de abelian și al unui subgrup de ordine.

Dovada. Să presupunem contrariul și să fim un grup metaciclic de ordine. descompus într-un produs semidirect al unui subgrup ordinar abelian obișnuit și al unui subgrup de ordine. este un număr impar de prime. Este clar că este non-abeliană. Dacă conține un subgrup normal de comandă cu un grup de coeficienți ciclici. atunci este conținut în centru și abelian prin Lemma 1.3.4, o contradicție. Prin urmare, acesta conține un subgrup ciclic al indexului și al unui subgrup. generate de elemente de ordine. este un subgrup elementar abelian de ordine prin teoremele 5.4.3 și 5.4.4. Acum. și nu există nici un subgrup de ordine. Prin urmare, ipoteza este falsă și lema este valabilă.

Atunci când afirmația lemei este falsă, un grup dihedral al ordinului 8 servește ca o proba.

Lemma 2. Un grup finit cu o subgrupă ciclică de fixare este supersolubil.

Dovada. Să fie un grup de solvabilitate finită cu un subgrup ciclic de asamblare. Deci, cum. atunci grupul de automorfisme ale unui grup ciclic este Abelian prin Teorema 1.3.10, deci este supersolvabil.

Lema 3. Dacă grupul supersoluble nu are non-triviale normale 2-subgrupe, atunci Sylow 2-subgrupul este abelian.

Dovada. Comutatorul unui grup suprasociabil este nilpotent (Teorema VI.9.1), prin urmare grupul Sylow 2 al comutantului este normal în grup. Dacă comutantul are o ordine ciudată, atunci grupul Sylow 2 al grupului este abelian.

Ne amintim că cel mai mare subgrup normal din Q este centrul grupului. a este cel mai mic subgrup normal care conține. Prin termenul de lungime a grupului.

Lemma 4. Fie u un subgrup al unui grup finit. care posedă următoarele proprietăți:

Dovada. Vezi Lemma 1.

Teoremă 1. Să fie un grup finit. unde și sunt grupuri cu subgrupe ciclice de indicii. Atunci este rezolvabil și pentru orice prime ciudat.

Dovada. Prin teoremă, grupul este rezolvat. Pentru a calcula lungimea, folosim inducția pe ordinea grupului. Mai întâi considerăm cazul ciudat. Prin Lemma VI.6.4 subgrupul Frattini este unic și grupul conține un subgrup minimal unic normal. Prin teorema III.4.5, subgrupul de asamblare este un subgrup minimal normal. Deci, cum. atunci este un grup. În cazul în care. atunci este un grup abelian de împărțire a ordinelor. și de atunci. atunci. O subgrupă Sylow este metaciclică prin teorema III.11.5, deci - un subgrup elementar de ordin abelian și este izomorf la un subgrup de. în care subgrupa Sylow este ordonată. Deoarece pentru unii maximi într-un subgrup. atunci din Lemma 1 ajungem ca S este un subgrup Sylow al lui u.

Considerăm acum durata de 2 ani a grupului. Este clar că - în unic subgrup normal minim, care este un elementar Abelian 2-subgrup. Fie ca subgrupurile să fie u și, respectiv, Prin ipoteză - într-un subgrup ciclic normal - într-un subgrup ciclic normal. Acum - este o subgrupă Hallian de Teorema VI.4.6, și putem presupune asta. Pentru orice element, avem. și de Lemma 4 fie. fie. Dar dacă. apoi îl centralizează. ceea ce este imposibil. Mijloace. și deoarece există doar un subgrup minimal normal, atunci u este un grup 2. grup Factor nu conține Nonidentitatea normale 2 subgrupe, cu toate acestea subgrupă de montare are ordin impar. Dar -hollovskaya în subgrupul ciclic și de Lema 2, supersoluble grupa factor și Sylow 2-subgrupul este abelian Lema 3, Acum, și Teorema VI.6.6. Teorema este dovedită.

Lemma 5. Un grup finit cu un subgrup de montaj al unui indice este supersolvabil.

Dovada. Facem inducție pe ordinea grupului. Fie un grup finit în care subgrupul de amenajare are un index. Prin inducție, putem presupune că subgrupul Frattini este unic și că există doar un singur subgrup minimal normal în grup. Prin urmare, F este subgrupul minimal normal. Să fie o involuție a lui. În cazul în care. atunci este normal într-un subgrup. În cazul în care. atunci u este un subgrup normal non-trivial. Astfel, în grup există un subgrup normal de prim ordin. Prin inducție, este superresolvabilă, deci grupul este de asemenea supracolubil.

LEMMA 6. Un grup finit care este produsul a două subgrupuri de împărțire a ordinelor. este superresolvabilă.

Dovada. Folosim inducția pe ordinea grupului. Să fie un grup finit. unde subgrupurile u au ordine care se împart. este un număr prime. Toate grupurile de factori din grup satisface condițiile lemei, prin urmare, prin inducție, grupările factorilor netriviali ai grupului sunt supersolubili. În consecință, subgrupul Frattini al grupului este unitar, iar subgrupul Fitting este subgrupul minimal normal. Prin Lemma 2, subgrupul este non-ciclic.

Dacă este un grup 2, atunci este, de asemenea, izomorf cu un subgrup al grupului. prin urmare, grupul este de ordin 3, iar grupul este de ordinul 12 și conține un subgrup al ordinului 6. Prin urmare, este suprasolubil.

Să fie acum un grup. Deoarece este supersolubil prin inducție, este 2-nilpotent. Dar. așa cum. prin urmare, este un grup 2, care prin Lemma 5 are ordinul 4. Grupul acționează ireductibil pe un subgrup. prin urmare, ciclică de teorema lui Mashka. Pe de altă parte, o subgrupă Sylow 2 este produsul a două subgrupuri și ordine de 2. O contradicție. Lemma este dovedită.

Teoremă 2. Dacă grupurile u conțin subgrupuri ciclice de ordine și indicii impare. atunci grupul finit este supersolvat.

Dovada. Folosim inducția pe ordinea grupului. Prin teorema 1, grupul este rezolvat. Deoarece condițiile teoremei sunt transferate la toate grupele de factori, prin inducție toate grupurile de factor nontrivial din grup sunt supersolubile. Prin urmare, subgrupul Frattini al grupului este unitar, iar subgrupul Fitting este singurul minim normal din subgrup. În mod evident, are o ordine complicată. Dacă este o grupare 2, apoi de ordinul 4 și este izomorf la un subgrup al grupului. Dar acum ordinul divide 12 și este suprasolubil de Lemma 6.

Prin urmare, este un grup de ordine. Sylow subgrup de metacyclic Teorema III.11.5, deci - despre elementar Abelian și izomorf la un subgrup. în care subgrupa Sylow este ordonată. Deoarece pentru unii maximi într-un subgrup. atunci din Lemma 1 ajungem că S este un subgrup Sylow și putem presupune că. în cazul în care.

Denumim cu D diferența. Din moment ce subgrupurile -holle din și de la sunt normale în și, respectiv, este un subgrup a-Hall al subgrupului. În cazul în care. atunci este supersolubila de Lemma 6. Lasa. Pentru orice element avem: și de Lemma 4 fie. fie. În cazul în care. apoi de la minimalitatea pe care o obținem și centralizează. ceea ce este imposibil. Prin urmare, și. Dar, în singurul subgrup minimal normal, se divide. Dar dacă. atunci este normal în. contradicție. Mijloace.

Din moment ce subgrupul suprasolubil și -ollow din. atunci este normal și, prin lemma lui Frattini, conține un subgrup al lui Sylow 2. Este clar că. Subgrupul este anormal în. înseamnă. dar acum este normal și normal în. contradicție. Teorema este dovedită.

Teorema 3. Lăsați grupul finit. unde este un subgrup ciclic de ordin ciudat, iar subgrupa conține un subgrup ciclic de index. Dacă nu există secțiuni normale izomorfe. atunci este superresolvabilă.

Dovada. Folosim inducția pe ordinea grupului. Teorema 1 grup este rezolvabilă, precum sunt transferate condițiile teoremei tuturor grupelor factorului, subgrupul Amenajarea - in unic subgrup normal minimal. Dacă - 2-grup, este conținută și, prin urmare, ordinea este 4, a este izomorfă la un subgrup. Dacă Sylow 3-subgrup nontrivial, apoi acționează asupra ireductibile și - în izomorfe normale subgrup. contradicție. În cazul în care. atunci este un grup 2 și supersolvată.

Prin urmare, este un grup de ordine. Din moment ce subgrupa Sylow este metaciclică de Teorema III.11.5, ea este un ordin abelian elementar și este izomorf la un subgrup al lui. în care subgrupa Sylow este ordonată. Deoarece pentru unii maximi într-un subgrup. atunci din Lemma 1 ajungem că S este un subgrup Sylow și putem presupune că. în cazul în care. a.

Semnificăm prin. Ca și în Teorema 2, este ușor să arătăm că subgrupul -low este de non-identitate, a. Deoarece a-Hall este subgrup și supersolvabil, este normal și conține un subgrup al lui Sylow 2. care coincide cu subgrupul Sylow 2 din. Subgrupul este anormal în. prin urmare,. Dar acum este normal. și prin urmare, în. contradicție. Teorema este dovedită.

Articole similare

• Copiii cu risc sunt principalele caracteristici - sprijinul social și pedagogic al copiilor din grup

• Înregistrările de studio - bătăile, single-urile și albumele trupei - oferă studiouri și concerte

Trimiteți-le prietenilor: