Spațiu compact, publicație în revista "Young Scientist"

O acoperire a unui set este o familie a subseturilor sale astfel încât. În cazul în care există un spațiu topologic, această acoperire se numește o acoperire deschisă (închisă) a spațiului dacă toate seturile sunt deschise (închise).







Definiție 1. Se spune că un spațiu topologic este compact. dacă din fiecare dintre husele sale deschise se poate distinge un subcover finit.

Spațiile compacte Hausdorff sunt numite compacta.

Definiția 2. Un punct este numit un punct limită al unui set dacă fiecare vecinătate a unui punct conține infinit multe puncte ale setului. Un punct este numit punct de acumulare completă a unui set dacă pentru fiecare vecinătate a setului este egal.

Opredelenie3. Un spațiu topologic se numește compact. dacă din fiecare dintre hărțile sale deschise pot fi selectate un subcover finit.

Teoremă 1. Un spațiu topologic este compacționat compactit dacă și numai dacă fiecare subset infinit are un punct limită.

Dovada. Necesitate. Să presupunem contrar că există un subset infinit care nu are puncte limită. Se știe că fiecare set fără puncte limită este închis. Prin urmare, setul este deschis. Deoarece setul este închis și nu are puncte limită, pentru fiecare punct există o vecinătate care intersectează setul într-un singur punct. Un subcover finit poate fi distins de o acoperire numărabile. Apoi setul este format din puncte. Am obținut o contradicție care conține infinit multe puncte.

Suficiență. Să presupunem contrariul. Există o acoperire deschisă numărabilă a spațiului din care este imposibil să se distingă acoperirea finită. Putem presupune asta pentru toată lumea. Din fiecare diferență alegem un punct și punem. Să fie un punct arbitrar de spațiu. Apoi, punctul se află într-un element al acoperirii. Un set este un cartier dintr-un punct care intersectează un set cu cel mult un punct. Astfel, un set infinit nu are puncte limită. Am obținut o contradicție. Aceasta completează dovada teoremei 6.1.







Opredelenie4. Un spațiu topologic se numește extrem de compact. dacă din fiecare dintre husele sale deschise se poate distinge un subcover numărare.

Exemplul 1. Fie - o linie numerică cu topologia obișnuită este fin compact, dar nu un spațiu compact.

Afirmația 1. Într-un spațiu compact în cele din urmă, fiecare set de necontenit de cardinalitate obișnuită are un punct de acumulare completă.

Dovada. Să presupunem, dimpotrivă, că există un set de cardinalitate neobișnuită, care nu are puncte de acumulare completă. Apoi, fiecare punct are un cartier care intersectează setul cu privire la setul de putere. Din acoperirea spațiului se poate alege un subcover numărare. În consecință, mulțimea poate fi reprezentată ca o sumă numărătoare de seturi de cardinalitate, care contrazice regularitatea și neconcordanța. Afirmația 1 este dovedită.

Teorema 2. Un spațiu topologic este compact dacă și numai dacă fiecare subset infinit al acestuia are un punct de acumulare completă.

Dovada. Necesitate. Să fie un spațiu compact. Apoi, prin Remark 1, spațiul este un spațiu în cele din urmă compact. Prin aserțiunea 1, fiecare subset infinit de spațiu are o acumulare completă.

Suficiență. Fie ca un subset infinit de spațiu să aibă un punct de acumulare totală, adică pentru fiecare cartier dintr-un punct al setului și sunt echilibrați. Aceasta înseamnă că punctul este punctul limită al setului. Să arătăm că există un spațiu compact. Teoremă 3. Să fie un spațiu Tikhonov. atunci

.

Termeni de bază (generați automat). acumulare completă submulțime infinit spațiu topologic, puncte limită, un punct de acumulare complet, spațiul infinit subset subcovering finit, capacul deschis, un spațiu compact, un complet seturi de acumulare, spațiu compact, o acumulare completă de puncte, setul de puncte, un set infinit, spațiu topologic, limitând punctul unui set, vecinătatea unui punct dintr-un set, punct limită al unui set, acoperind un set de cardinalitate obișnuită.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: