Punctele fibrei K n sunt numite. Simplexurile n-dimensionale ale unui C.C. Dacă sunt date doar operatorii di. satisfacerea relațiilor di dj = dj-1 di. eu
O mapare simplicială f: K 'la C'. morfismul functorilor, adică o secvență de mapări care satisface relațiile,
Pentru orice topologie. Spațiul X este definit de SM S (X), n. singulară a unui spațiu X ale cărui simplexuri sunt simplicii singulare ale spațiului X (vezi omologia Singulară), adică mapări continue. unde D n este simplul standard geometric n-dimensional
Operatorii fețelor di și degenerarea lui din acest SM sunt determinate de formule
SM K (p) este de fapt un grup simplicial.
Pentru orice grupă p abelian și orice întreg m este determinat pp. (De fapt, un grup simplicial Abelian) E (p, n), simplices dimensiune Qc-cerned sunt colanțuri re-dimensionale q-dimensional geometrică standard simplex D q cu coeficienți de grupul π (astfel, E (p, n) q = C n (D q; p)). Denumind vârfurile simplex D q prin simboluri, definim mapări și formule simpliciale
Homomorfisme induse de grupuri de cochain
sunt, prin definiție, operatorii de graniță și degenerare ai spațiului E (p, n). Simplexurile care sunt cicluri formează un subset simplicial al unui E (p, n) Eilenberg-MacLane și este notat cu K (p, n). grupuri de operatori Edge C * (D q, p) determină canonic simplicial hartă E (p, n) K (p, n + 1), la-Roe notat d. Deoarece conceptul de un ciclu de sens pentru grup și p non-abelian (cm. Nonabelian coomologia) pp m. K (p, 1) este determinată fără presupunerea că grupul p abelian. Acest CMM + (K) este izomorf și se numește. (co) grupuri de omologie ale schemei simpliciale K. Grupurile (co) de omologie ale SM K (p) sunt grupurile (co) de omologie ale grupului p.
Simplex S. m. Knaz. degenera dacă există un astfel de operator simplex și de degenerare si astfel încât x = si y. Lema Eilenberg- - Zilber susține că orice simplex S. m Kedinstvennym reprezentat sub forma x = y K (s), în cazul în care un anumit epimorfism-ing S- și -. Simplex nedegenerat. Cel mai mic subset S. m simplicial. K, conținând toate simplices sale degenerate dimensioneze mai mică sau egală cu n, notat cu n sau K Sk n K și numit. scheletul n-dimensional al unui C.K.
Simplexuri geometrice standard
constituie o topologie cosimplică. spațiu în ceea ce privește operatorii de coegrees di și co-apariția si. definite prin formule
Într-o uniune disjunctivă, unde toate K n sunt considerate ca seturi discrete, formule
determina raportul de echivalență, raportul dintre o descompunere celular k-rom (spațiu celular), celulă la-cerned sunt corespondenta bijectiva cu nedegenerat m cimpleksami S. K. Această descompunere celulară notată. | Pentru a | sau RK și a sunat. realizarea geometrică în sensul lui Milnor SM K. Fiecare simplicial hartă induce prin formula
maparea continuă și corespondențele reprezintă functorul R:. Acest functor este conjugat la stânga din functorul singular. Izomorfismele corespunzătoare functorilor
Morfismul de conjugare este pentru orice topologie. Spațiul este o homotopie slabă. echivalență (în special, acest lucru demonstrează că un spațiu topologic arbitrar este slab homotopic echivalent unei descompuneri celulare).
Construcția este geometrică. punerea în aplicare | Pentru a | este generalizată la o topologie topologică. spațiul K. Este posibil. definesc, de asemenea, realizarea geometrică, în sensul de jivera - Hu || K ||, numai fețele operatorilor di ia în considerare (în această implementare există celule pentru toate simplices de K, și nu numai non-degenerat). În cazul în care fiecare operator si degenerare este cofibration închisă (o condiție este realizată automat pentru C. m.), Harta naturala este un omotopie. echivalență.
În particular, pentru fiecare CM, produsul său este definit unui segment simplicial D 1. Proiecțiile determină maparea bijectivă
to-Roe este un homeomorphism când produsul RK RL X reprezintă o descompunere celulară (de ex. dacă ambele S. m. Ki Lschetny sau dacă una dintre partițiile celulei RK RL local sau ciclu de tratament). Din aceasta, în special, rezultă că geometric. Realizarea unui monoid simplu simplicial (un grup, un grup abelian) este topologică. monoid (grup, grup abelian).
Sunt numite hărți simpliciale. sunt homotopice dacă există o mapare simplicială (homotopie) L astfel încât
pentru orice simplă și pentru orice compoziție s (de lungime n) a operatorilor de degenerare. Această definiție (care simulează definiția obișnuită a homotopului mapărilor continue) este echivalentă (în cazul SM) cu definiția generală a homotopului mapărilor simpliciale ale oricărui obiect simplicial.
O cartografie simpliciala a lirei standard (vezi standardul simplex) in spatiile Banach. Fiecare lira este definită în mod unic de secvența (n + 1) - membru a simplexurilor n-dimensionale x 0. x1. xk-1. xk + 1. xn + 1 pentru care di xj = dj-1 xi pentru orice. Se spune că o lira este umplută dacă se extinde la întreaga SM D n + 1. adică, există un simplex (n + 1) -dimensional x astfel încât di x = xi pentru fiecare. S. m. Knaz. completează (sau satisface condiția Kahn) dacă fiecare dintre lira lui este umplut.
care corelează la fiecare SM un CMS complet, geometric. a cărei realizare este echivalentă homotopic cu cea geometrică. realizarea lui S. m. Ki-to-icre înlocuiește complet CM a tuturor întrebărilor de tip homotop.
Două simplexuri n-dimensionale xi x 'C. Knas. comparabil dacă. Sunt numite simplexuri comparabile. omotop dacă există o (n + 1) simplex -dimensional în care y = x dn, dn + 1, y = x 'și y di = sn-1 di x = sn-1 di x'. . Pentru SM completă, acest raport este o relație de echivalență, iar simplexurile sunt homotopice dacă și numai dacă hărțile lor caracteristice simpliciale sunt homotopice.
S. m. Knaz. un ascuțit, dacă este marcată de o anumită tridimensional zero, q-ing simplex (același simbol q este tot degenerarea acestui simplex, și a generat un subset simplicial dintre ele, la-Roe se numește de obicei. un punct marcat in K). Pentru un SM complet perforat, mulțimea de clase pn (K) ale simplexurilor homotopice «-dimensionale care sunt comparabile cu simplex q este pentru un grup. Acest grup este chemat. n-m grupă ernoy omotop găurite plin C. m K, această terminologie este justificată de faptul că pn (K) .PP (| K |), în special pn (K (p, n)) = p și pi (K. (p, n)) = 0 pentru. CM pentru care este numit pentru fiecare pi (K) .0 pentru toți. -N conectat; Mai mult, un SM conectat la 0 este numit a. conectat, iar un SM conectat la 1 este pur și simplu conectat. Adăugarea unei operațiuni de grup indus asociază simplices chi y (comparabil cu q) simplex dn z, în care z - Simplex de dimensiune n + 1, umple xi cornet = 0 și x n-1 = x, x n + 1 = y. Dacă CM este un monoid simplicial cu unitatea q, adiția este de asemenea indusă prin înmulțirea în acest monoid (produsul celor două simplexuri, comparabil cu q, este comparabil cu q).
Deoarece orice simplă y care este comparabilă cu q este un ciclu (al complexului C (K), definit de SM), atunci un homomorfism natural
Gurevich, pentru η = 1, izomorfismul inductor
(Teorema lui Poincaré), iar pentru n> 1 este un izomorfism atunci când SM este K (n-1) - conectat (teorema lui Hurewicz). Pentru SM completă, teorema Whitehead este valabilă și în ambele variante ale acesteia, adică reprezentarea simplicială a SM complet este, dacă și numai dacă, o homotopie. echivalență, atunci când induce un izomorfism de homotopie. grupuri, iar pentru semigrupurile conectate pur și simplu această condiție este echivalentă cu faptul că homomorfismele induse de grupurile de omologie sunt izomorfisme.
În cazul în care R este un grup simplicial, grupa pn (K) este izomorfă la grupul de omologie al complexului lanț (nu neapărat abelian) pentru care
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: