Seturile agregate deschise ale R numite o bază în fiecare deschis dacă o pluralitate de R poate fi reprezentat ca o sumă a unui număr (finit sau infinit) de mulțimi care aparțin acestui set.
Pentru a verifica dacă un anumit set de seturi deschise este o bază sau nu, este utilă următorul criteriu.
Teorema 3. Pentru ca sistemul să deschidă o bază mnozhestvpredstavlyala Br este necesar și suficient ca pentru fiecare mnozhestvaG deschis și pentru fiecare punct ar fi un mnozhestvoiz acest sistem,
Dovada. Dacă este o bază, atunci fiecare set deschis G este suma unora
în consecință, fiecare punct x în G aparține unor elemente conținute în G. În schimb, dacă ipoteza teoremei este satisfăcută, atunci este o bază. Într-adevăr, G este un set arbitrar deschis. Pentru fiecare punct găsim unele astfel încât suma acestor peste toate este egală cu G.
Cu ajutorul acestui criteriu este ușor de stabilit că în fiecare spațiu metric setul tuturor sferelor deschise formează o bază. Colectia tuturor sferelor cu raze rationale este, de asemenea, o baza. Pe o bază directă se află, de exemplu, setul de intervale raționale (adică intervale cu obiective raționale).
R este numit un spațiu cu o bază de calcul, dacă în R se poate găsi cel puțin o bază constând dintr-un număr de elemente numărabile.
Teorema 4. Pentru ca R să fie un spațiu cu o bază numerică, este necesar și suficient ca în el să existe un set dens, cel mai numărabil [3].
Dovada. Necesitate. Să presupunem că R este bază numărabilă pentru a alege în fiecare un punct arbitrar astfel obținut este stabilit dens în R. Într-adevăr, fie x - punct arbitrar în R și - o vecinătate. Conform Teorema 3, există un set care conține cel puțin de unul dintre punctele din vecinătatea oricărui punct arbitrar cuprinde cel puțin un punct de afară și acest lucru înseamnă că în R. dens
Suficiență. Dacă este o mulțime densă numită în R, atunci colecția de sfere formează o bază numerică în R. Într-adevăr, mulțimea tuturor acestor sfere este numărabilă (ca sumă a unui set numărabil de seturi numărabile). Mai mult, lasa G - set și x deschis - un punct în G. Prin definiție, există un set deschis că sfera este conținută în întregime în G. acum Am ales dintr-o varietate de punct, astfel încât timpul sfera conține X și este conținută și, în consecință, în G Prin teorema 3 rezultă că sferele formează o bază în R.
În virtutea acestei teoreme, exemplele spațiilor separabile date mai sus (p. 43) sunt în același timp exemple de spații cu o bază numerică.
Un sistem de seturi se consideră a fi o acoperire a lui R dacă o acoperire constând din seturi deschise (închise) se numește acoperire deschisă.
Teoremă 5. Dacă R este un spațiu metric cu o bază numerică, atunci din fiecare acoperire deschisă se poate alege un subcover finit sau numărare.
Dovada. Să fie o acoperire deschisă a R. Astfel, fiecare punct este conținut în unele
Să - bază numărabilă în R. Apoi, în această bază există un element care totalitatea seturi de astfel selectate este finită sau numărabilă și acoperă toate R. selectarea pentru fiecare dintre seturile care o conțin și vom obține o acoperire subcovering finit sau numărabil
Sa menționat deja mai sus că setul gol și întregul spațiu R sunt deschise și închise în același timp. Un spațiu în care nu există alte seturi care sunt deschise și închise se numește conectat. Linia dreaptă R 1 este unul dintre cele mai simple exemple de spații metrice conectate. Dacă se îndepărtează un anumit set finit de puncte de la R 1 (de exemplu, un punct), spațiul rămas nu va mai fi conectat. Cel mai simplu exemplu al unui spațiu necondiționat este două puncte care se află la o distanță arbitrară unul față de celălalt.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: