Capitolul II. Teoria câmpurilor
§ 1. Concepte fundamentale ale teoriei domeniului
Teoria câmpului este o secțiune mare, fizică, mecanică, matematică, în care sunt studiate câmpurile taloare scalare, vectoriale.
Multe probleme de fizică, electrotehnică, matematică, mecanică și alte discipline tehnice conduc la luarea în considerare a câmpurilor scalare și vectoriale.
Un câmp este o regiune V a spațiului, în fiecare punct în care este definită o valoare a unei anumite valori. Dacă la fiecare punct M din această zonă există un anumit număr U = U (M), spunem că în domeniu este definit un câmp scalar (sau o funcție de punct). Cu alte cuvinte, un câmp scalar este o funcție scalară U (M) împreună cu domeniul său de definiție. Dacă la fiecare punct M al unei regiuni de spațiu corespunde un anumit vector, atunci spunem că este dat un câmp vectorial (sau o funcție vectorală a unui punct).
Exemple de câmpuri scalare pot fi câmpurile de temperatură, presiunea atmosferică, densitatea, potențialul electric etc. Exemple de câmpuri vectoriale sunt câmpul gravitațional, câmpul de viteză al particulelor lichidului curent (vânt), câmpul magnetic, câmpul de densitate a curentului electric etc.
Dacă funcția U (M) () nu depinde de timp, atunci câmpul scalar (vector) se numește staționar; Un câmp care variază în timp este numit nestatornic.
În cele ce urmează vom lua în considerare numai câmpurile staționare.
Dacă V este o regiune de spațiu tridimensional, atunci câmpul scalar U poate fi considerat ca o funcție a trei variabile x, y, z (coordonatele punctului M):
Dacă funcția scalară U (M) depinde numai de două variabile, de exemplu, x și y. câmpul scalar corespunzător U (x; y) se numește plat.
În mod similar: un vector poate fi considerat ca o funcție vectorală a trei argumente scalare x, y și z. sau. Un vector poate fi reprezentat în formă
unde P (x; y; z), Q (x; y; z); R (x; y; z) sunt proiecțiile vectorului pe axa coordonatelor. Dacă în sistemul de coordonate ales Oxyz una dintre proiecțiile vectorului este 0, iar celelalte două depind doar de două variabile, atunci câmpul vectorial este numit plat.
Se spune că un câmp vector este omogen. dacă este un vector constant (P, Q, R sunt constante).
§ 2. SCALAR FIELD
Fie un câmp staționar scalar U = f (M) = f (x; y; z). unde funcția f (x; y; z) va fi întotdeauna presupusă a fi continuu diferențiată în regiunea examinată.
Principala întrebare a investigării câmpului scalar este problema schimbării funcției U pe măsură ce ne mutăm dintr-un punct al spațiului în altul. Pentru a clarifica această întrebare, să analizăm în primul rând locul locului în care valoarea U păstrează o valoare constantă. Acest loc geometric de puncte se numește suprafața plană a câmpului scalar U. Ecuația lui în sistemul de coordonate ales are forma: U (x; y; z) = C. unde C = const. În consecință, schimbând valorile lui C, obținem o familie de suprafețe de nivel care umple întreaga regiune unde este definită câmpul și nu există două puncte comune care să aibă două suprafețe de nivel corespunzătoare diferitelor valori ale lui C.
Stabilirea tuturor suprafețelor de nivel cu valorile C corespunzătoare este echivalentă cu setarea câmpului în sine. Această metodă de reprezentare a unui câmp este deosebit de convenabilă dacă avem de-a face cu un câmp definit într-un domeniu planar D al a două variabile. În acest caz, ecuația U (x, y) = C determină, în general, o anumită linie curbă, numită linia de nivel a unui câmp scalar plan.
Astfel de linii de diverse domenii de scalare este bine cunoscut: liniile de înălțime egală dimensiune (orizontală) potrivită a imaginii pentru teren, temperatură egală linie (izotermă) sau linii de presiune egală (isobars) în meteorologie, etc ..
Derivatul de câmp scalar în direcția
Derivatul funcției scalare U = f (x;, y; z) de-a lungul direcției vectorului
Prin urmare, ea caracterizează rata de schimbare a valorii U în punctul M0 în direcția vectorului.
Este evident că funcția U are un număr infinit de derivați în ceea ce privește direcțiile la fiecare punct M. Obținem o formulă pentru calculul derivatului direcțional. deoarece
Denumim această funcție
Articole similare
-
Procesul de îngrijire pentru gastrită, curs gratuit, rezumate și teze
-
Schimbul de proiecte de curs și de diplomă (scris la teza de teza, teza, cursuri
Trimiteți-le prietenilor: