Pe baza tabelului de corespondență, echivalentul lui (x1 óx2) poate fi, de asemenea, definită ca o afirmație care este adevărată dacă și numai dacă instrucțiunile x1 și x2 sunt ambele adevărate sau ambele false.
La fel ca și implicarea, funcționarea unei echivalențe este foarte frecvent utilizată atunci când formulăm diferite teoreme. Spre deosebire de implicare, echivalentul determină condițiile necesare și suficiente.
Întrebări și sarcini
3.14. Scrieți o declarație complexă utilizând operația echivalentă din următoarele simple declarații: "Suma pătratelor celor două laturi ale triunghiului este egală cu pătratul celei de-a treia părți", "Triunghiul este dreptunghiular". Verificați rezultatul cu ajutorul tabelului de potrivire.
3.15. Folosind o operație echivalentă, formulează o declarație complexă care descrie funcționarea siguranței în circuitul electric.
3.16. Dați un exemplu de teoremă, a cărei formulare utilizează operația echivalentă.
Principiile dovezii identității. Tabel de operații cu două variabile logice
Se pune întrebarea: cum să dovedim că o expresie este într-adevăr o identitate? Există două moduri:
1. Dovada pe baza tabelului de corespondență. Pentru ambele părți ale identității presupuse, sunt construite tabelele de corespondență. Dacă aceste tabele sunt aceleași (adică, pentru fiecare set de valori de argument, valorile părților din stânga și din dreapta ale expresiei sunt identice), atunci identitatea este adevărată.
2. Dovada prin transformări identice succesive. Transformând succesiv părțile din stânga și din dreapta, este necesar să le aducem la aceeași formă. Regulile prin care se fac transformările identice vor fi luate în considerare în capitolul 5.
În total există 16 operații cu două variabile logice (booleene) (Tabelul 3.6).
Evident, unele operațiuni pot fi exprimate prin intermediul altora. De exemplu, o disjuncție poate fi exprimată printr-o conjuncție și o negare:
Există două operații (săgeata Pierce și scheletul Scheffer), prin care oricare altă operație poate fi exprimată. De exemplu:
Setul tuturor funcțiilor booleene împreună cu operațiile de negare, conjuncție și disjuncție formează o algebră booleană.
După cum se poate observa din tabelul 5.1, valorile părților din stânga și din dreapta (cu caractere aldine) sunt aceleași pentru toate valorile variabilelor, după cum este necesar.
În mod similar, prin construirea tabelelor de corespondență, celelalte identități enumerate mai sus pot fi dovedite.
Aceste proprietăți fac posibilă obținerea unui număr de alte legi și identități importante fără referire la tabelele de corespondență:
1) legile lui de Morgan:
;
2) legile de absorbție:
;
3) Legile privind ipoteza:
.
Să dovedim validitatea primei legi a lui Morgan. Pentru a face acest lucru, reducem egalitatea prin transformări succesive către o identitate evidentă.
Din egalitatea și proprietățile negării rezultă că
După expansiunea parantezelor, obținem următoarele:
Deoarece și. dar, de asemenea. atunci expresia anterioară poate fi reprezentată în următoarea formă:
Folosind proprietățile constantelor (...), obținem
Astfel, prin transformări echivalente, am dat expresia primei legi a lui De Morgan identității și astfel am demonstrat validitatea acestei legi.
A doua lege a lui Morgan poate fi obținută cu ușurință pe baza primului prin negarea părților stângi și drepte și a schimbării corespunzătoare a variabilelor. Vom scrie prima lege a lui De Morgan cu privire la variabilele a și b:
.
Dacă expresiile în sine sunt egale, atunci și negările lor sunt egale:
.
Din proprietățile dublei negări:
.
Facem schimbarea variabilelor:
După înlocuire, primim:
,
și anume a doua din legile lui de Morgan.
Următoarele identități dețin, de asemenea:
; ;
5.1. Dovediți utilizarea tabelului de corespondență a validității legilor asociativității și a absorbției.
5.2. Prin transformări succesive, verificați care dintre următoarele expresii sunt adevărate identități:
Comparați rezultatele cu rezultatele sarcinii 3.15.
Trimiteți-le prietenilor: