Acest manual de formare este elaborat în conformitate cu programul de studiu al disciplinei "Matematică" de către studenții de specialitate 190702 - "Organizarea și siguranța traficului", 260601 - "Mașini și dispozitive de producție alimentară"
Disciplina "Matematică" în toate aceste specialități este standardul educațional de stat pentru disciplinele federale. Una dintre secțiunile disciplinei, definită de cerințele pentru un conținut minimal obligatoriu al programului educațional de bază, este "Teoria probabilității".
Secțiunea "Teoria probabilităților" are numeroase aplicații practice în studiul disciplinelor speciale și generale ale studenților din aceste specialități.
Trebuie remarcat faptul că acest manual de instruire conține materiale de curs și oferă soluții detaliate pentru un număr mare de probleme tipice. O astfel de prezentare a materialului face posibilă utilizarea manualului pentru munca independentă a studenților pe temele de la domiciliu și MSH atât în departamentele full-time, cât și în cele cu jumătate de normă ale specialităților indicate.
Lucrarea de față reprezintă doar o mică parte din prezentarea întrebărilor legate de secțiunea "Teoria probabilităților", în conformitate cu programul de lucru al disciplinei "Matematică", cu specialitățile indicate și cu timpul alocat orelor de clasă.
Subiectul teoriei probabilității
2) Subiectul teoriei probabilității.
3) Evenimente aleatoare, clasificarea acestora.
1) Teoria probabilității a apărut din necesitățile practicii. Elementele sale erau "familiare" oamenilor primitivi.
Apariția "matematicii aleatoare" este atribuită la mijlocul secolului al XVII-lea și este asociată cu o încercare de a crea o teorie a jocurilor de noroc.
În secolele XVII și XIX, limitele teoreme au fost esențiale pentru dezvoltarea teoriei probabilității. Această perioadă include lucrările lui A. Muávre (1667-1754), P. Laplace (1749-1827), K. Gauss (1777-1855), S. Poisson (1781-1840).
La sfârșitul secolului XIX - începutul secolului XX, datorită eforturilor PL. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), A.M. Lyapunov (1857-1918) a dezvoltat metode pentru a demonstra teoreme limită pentru sume de variabile aleatoare distribuite arbitrar.
Teoria probabilității moderne este o știință matematică strict fundamentată. Ea folosește în mare măsură realizările altor științe matematice și, la rândul ei, are numeroase aplicații în științele naturale și umane.
2) Orice știință exactă nu studiază fenomenele care apar în natură, în societate, ci modelele lor matematice, adică descrierea fenomenului prin intermediul unui set de simboluri strict definite și operațiuni asupra lor.
În acest caz, pentru a construi un model matematic al unui fenomen real, în multe cazuri este suficient să luăm în considerare numai principalii factori, regulile care ne permit să anticipăm rezultatul experimentului în funcție de condițiile inițiale date. Cu toate acestea, există multe probleme pentru care este necesar să se țină cont de factori aleatorii care dau rezultatul experimentului un element de certitudine. De exemplu, în materie de fotografiere țintă, este imposibil, fără a lua în considerare factori aleatorii, să răspundem la întrebarea: câte rachete trebuie să fie cheltuite pentru a învinge ținta? Este imposibil să se prezică care parte va cădea atunci când aruncă o monedă, etc. Astfel de probleme, ale căror rezultate nu pot fi prezise cu încredere deplină, necesită studierea nu numai a principalelor principale, care determină fenomenul în general, dar și factorii secundari aleatorii. Modelele găsite în astfel de probleme sunt numite statistice (sau probabiliste). Regulatitățile statistice sunt investigate prin metode de discipline matematice speciale - teoria probabilității și a statisticilor matematice.
Probabilitatea sub-teorie este o știință matematică care studiază regularitățile inerente fenomenelor de masă aleatorii.
Subiectul teoriei probabilității este regularitatea observată în fenomenele aleatoare.
Un fenomen aleator este înțeles ca un fenomen care nu poate fi prezis.
Exemplul 1.1.1. Exemple de fenomene aleatorii pot fi:
- abandonarea unui vultur când aruncă o monedă;
- câștigarea unui bilet de loterie achiziționat;
- rezultatul măsurării oricărei valori etc.
Scopul teoriei probabilității este de a face o predicție în domeniul fenomenelor întâmplătoare, de a influența cursul acestor fenomene, de a le controla și de a limita întinderea aleatorității.
3) Definiți conceptul de "eveniment aleatoriu" bazat pe o înțelegere vizuală intuitivă. Să existe o experiență, rezultatul căreia nu poate fi anticipată în avans.
Definiție 1.1.1. Un experiment. sau test, experimentul este înțeles ca un set reproductibil de condiții în care se observă un fenomen sau altul, acest sau acel rezultat fiind fixat.
În acest caz, sunt considerate doar astfel de experimente care pot fi repetate, cel puțin teoretic, cu un set invariabil de condiții un număr arbitrar de ori.
Dacă rezultatul experimentului variază în funcție de repetarea acestuia, se vorbește de experiență cu rezultate aleatorii.
Definiție 1.1.2. Un eveniment aleatoriu (pur și simplu un eveniment) este orice fapt că în experiența cu un rezultat accidental poate sau nu să apară.
Evenimentele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin :. . și așa mai departe.
1. Experiență: aruncarea unui zar.
În acest experiment, pot apărea următoarele evenimente aleatorii:
Evenimentul este "pierderea a 5 puncte";
Eveniment - "scăderea unui număr par de puncte" etc.
2. Experiență: ieșirea din cutie, în cazul în care bilele albastre și roșii sunt de aceeași mărime și greutate, o minge.
Un eveniment este extracția unei mingi albastre din urnă. Acest eveniment este, de asemenea, întâmplător în acest experiment.
3. Experiență: aruncați monede. Evenimente aleatorii ale acestei experiente:
Evenimentul este "căderea vulturului";
Evenimentul este "căderea coapselor".
Definiție 1.1.3. Rezultatele imediate ale unui experiment sunt numite evenimente elementare.
Definiție 1.1.4. Setul tuturor evenimentelor elementare ale experienței se numește spațiul evenimentelor elementare sau spațiul rezultatelor experimentului, denotate de simbol.
Experiență: aruncarea unui zar.
Ca urmare a acestei experiențe, există 6 evenimente elementare:
- pierderea unui punct, - pierderea a două puncte, etc.
În acest caz, spațiul evenimentelor elementare este după cum urmează:
Dintre evenimentele accidentale, evenimentele izolate și fiabile ies în evidență.
Definiție 1.1.5. Un eveniment este numit autentic dacă vine în mod necesar în această experiență.
Spațiul evenimentelor elementare este un eveniment fiabil. Prin urmare, un eveniment valabil este indicat de un simbol.
Experiență: în cutie sunt doar bile albastre.
Eveniment - o bilă albastră este extrasă din sertar. Acesta este un eveniment fiabil.
Definiție 1.1.6. Evenimentul. Este imposibil să nu se întâmple ca rezultat al experimentului și să fie desemnat prin simbolul Ø.
Experiență: în cutie sunt doar bile roșii.
Eveniment - "din sertar se extrage o minge albastră". Acest eveniment este imposibil.
Definiție 1.1.7. Două evenimente și sunt numite comune în acest experiment, dacă apariția uneia dintre ele nu exclude apariția altui în acest experiment.
Experiență: aruncarea a două monede simetrice.
Evenimentul este un vultur pe partea superioară a primei monede.
Evenimentul este cozile de pe partea superioară a celei de-a doua monede.
Evenimentele sunt comune.
Definiție 1.1.8. Două evenimente sunt numite incompatibile. Dacă nu pot să apară împreună în cadrul aceluiași test.
Experiență: o lovitură de la o armă.
Evenimentele sunt incoerente.
Definiție 1.1.9. Mai multe evenimente sunt numite incompatibile. dacă sunt perechi incompatibile.
Definiție 1.1.10. Mai multe evenimente formează un grup complet de evenimente. dacă, ca urmare a experimentului, trebuie să apară în mod inevitabil cel puțin una dintre ele.
Exemplul 1.1.9. În cel de-al treilea exemplu, evenimentele - formează un grup complet.
Definiție 1.1.11. Două evenimente și. sunt numite opuse. dacă apariția unuia dintre ele nu este echivalentă cu apariția celuilalt.
Exemplul 1.1.10. În exemplul 8, evenimentele sunt opuse.
Definiție 1.1.12. Mai multe evenimente din această experiență sunt numite la fel de probabile. dacă, în virtutea condițiilor experimentului, putem presupune că nici unul dintre ele nu este mai posibil în mod obiectiv decât celălalt.
Exemplul 1.1.11. În exemplul 3, evenimentele sunt la fel de posibile, deoarece Se presupune că cubul este fabricat dintr-un material omogen și are o formă simetrică.
Definiție 1.1.13. Rezultatul experienței se spune că este favorabil acestui eveniment, dacă implică apariția acestui eveniment.
Exemplul 1.1.12. Două zaruri sunt aruncate, se calculează suma punctelor scăzute (suma numărului de puncte pe fețele de sus ale ambelor cuburi). Cantitatea de puncte scăzute pe două zaruri poate varia de la 2 la 12. Înregistrați întregul grup de evenimente din această experiență.
Soluția. Un grup complet de evenimente se formează prin rezultate elementare la fel de posibile. în cazul în care. prezentate în Tabelul 1.1.1.
Rezultatul elementar înseamnă că primul zar este punctat pe cel de-al doilea punct (= 1,2,3,4,5,6). De exemplu, (3, 4) - pe primul cub 3 puncte, pe al doilea - 4 puncte. Astfel, vor exista 36 de evenimente care formează un grup complet în acest experiment.
Exemplul 1.1.13. Câte rezultate elementare favorizează evenimentul - "la ambele zaruri același număr de puncte a căzut", atunci când a aruncat două zaruri?
Soluția. Acest eveniment este favorizat de 6 rezultate elementare (vezi Tabelul 1.1): (1; 1); (2; 2); (3; 3; 4; 4; 5; 5; 6;
Exemplul 1.1.14. Două zaruri sunt aruncate. Ce eveniment este favorizat de mai multe rezultate elementare: "suma punctelor scazute este de 7", "suma punctelor scazute este egala cu 8"?
Soluția. Evenimentul "suma punctelor abandonate este de 7" este favorizată de 6 rezultate (vezi tabelul 1.1): (1; 6), (2; 5), (3, 4), 4, 3; 6; 1). Evenimentul "suma punctelor scăzute este egală cu 8" este favorizată de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4); În consecință, primul eveniment este favorizat de rezultate mai elementare.
Pentru a rezolva acest subiect, propunem să rezolvăm următoarele sarcini.
1) Sunt incompatibile următoarele evenimente:
a) experiență - aruncarea unei monede simetrice; evenimente:
b) experiență - două fotografii la țintă; evenimente:
- "Cel puțin o lovitură";
- "Cel puțin o greșeală."
2) Sunt următoarele evenimente la fel de posibile?
a) experiență - aruncarea unei monede simetrice; evenimente:
b) experiență - aruncați o monedă îndoită; evenimente:
c) experiență - o lovitură la țintă; evenimente:
3) Următoarele evenimente formează un grup complet de evenimente:
a) experiență - aruncarea unei monede simetrice; evenimente:
b) experiență - aruncați două monede simetrice; evenimente:
4) Experienta - aruncarea a doua zaruri. Câte rezultate elementare favorizează următoarele evenimente:
- suma punctelor scazute este de 2;
- suma punctelor scadente este de 3;
- suma punctelor abandonate este de 4;
- suma punctelor scazute este de 12?
5) Experienta - aruncarea a trei zaruri. Câte rezultate elementare totale? Câte rezultate elementare favorizează evenimentul - trei puncte de zaruri: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? Care este cea mai mare valoare a sumei punctelor abandonate?
Întrebări pentru auto-examinare:
1. Ce se numește experiență sau testare?
2. Ce se numește un eveniment?
3. Ce eveniment se numește autentic în acest experiment?
4. Ce eveniment se numește imposibil în această experiență?
5. Ce eveniment se numește întâmplător în acest experiment?
6. Ce evenimente se numesc comune în această experiență?
7. Ce evenimente sunt numite incompatibile în această experiență?
8. Ce evenimente se numesc opuse?
9. Ce evenimente sunt considerate egale?
10. Ce se numește un grup complet de evenimente?
11. Ce se numește rezultatul elementar?
12. Ce rezultate elementare sunt numite favorabile pentru acest eveniment?
13. Ce este un grup complet de evenimente când se aruncă o monedă?
14. Care este întregul grup de evenimente când două monede sunt aruncate?
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: