Fie curba dată printr-o funcție în interval. Curba să fie suficient de netedă.
Definiție 1. Un vector se numește vector tangent. Binormal este un produs vectorial. Principalul normal este un produs vector al tangentei și binormalului.
Definiție 2. Un plan tangent este planul tangentei și cel normal principal. Planul normal este planul principalului normal și cel binormal. Planul de îndreptare este planul planului binormal și tangent.
Definiția 3. Triedronul însoțitor este un set de trei drepte și trei planuri din definițiile de mai sus.
Observație 1. Pe un vector și un punct este posibilă construirea unei linii drepte astfel: - un punct pe o linie, - un vector de direcție, atunci ecuația unei linii drepte va fi.
Observația 2. Pentru doi vectori și un punct, este posibilă construirea ecuației planului sub forma unui determinant. Să fie un punct, și să fie vectorul avionului. Apoi ecuația avionului arată astfel:
Introducem vectorii. Introducem o parametrizare naturală, de-a lungul lungimii arcului. . este lungimea curbei de la început. Apoi, în parametrizarea naturală vectorii arata ca:
Luați în considerare. Aceasta este viteza de rotație a funcției vectoriale (viteza de schimbare a unghiului). Se poate demonstra acest lucru.
Observația 3. Se poate arăta că dacă - un vector cu o lungime constantă, atunci este perpendicular. Acest fapt este folosit înainte, când se spune că este perpendicular. și care este perpendiculară. Și este ușor să se dovedească :.
Acum dovedim formulele Frenet:
Prima egalitate este evidentă :. pentru că. Mai departe. pentru că. prin urmare, produsul lor vectorial este egal cu zero. Mai mult, observăm că vectorul este perpendicular pe vectorul tangent și pe vectorul perpendicular pe principiul normal, deci este co-direcționat cu principiul normal. Denumirea coeficientului de proporționalitate. noi primim. Acum ia în considerare.
Observația 4. Coeficientul se numește curbură. Curba este simplă dacă și numai dacă curbura este zero. Torsionarea se numește un coeficient. Curba este plată dacă și numai dacă torsiunea este zero.
Observația 5. Următoarele formule ajută practic la calculul curburii și torsiunii.
Trimiteți-le prietenilor: