După cum sa menționat deja, în practică, criteriul de comparație luat în considerare este rareori utilizat. Adevărul "loc de muncă" al teoriei seriei numerice este semnul limitativ al comparației. În prevalența utilizării acesteia, doar semnul lui Dhalambert poate concura.
Limita de testare comparație: Luați în considerare două serii numerice pozitive și limita .Dacă a raportului dintre membri comuni ai acestor serii este un non-zero, număr finit,. . atunci ambele serii converg sau diverg simultan.
1) Dacă vorbim despre două serii convergente, atunci limita poate fi egală cu zero (dar nu cu infinitul).
2) Dacă vorbim despre două serii divergente, atunci limita poate fi egală cu infinitul (dar nu cu zero).
Când se aplică semnul limitativ al comparației? Semnul limită al comparației se aplică atunci când "umplutura" seriei este polinomiale. Fie un polinom în numitor, fie un polinom în numerotator și numitor. Unul sau ambele polinoame pot fi, de asemenea, sub rădăcină.
Luați imediat în considerare un exemplu pentru care criteriul de comparație examinat nu funcționa.
Exemplu 10 Investigați seria de convergență
Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim semnul limitator de comparatie. Se știe că seria converge. Dacă reușim să arătăm că este egal cu un număr finit diferit de zero, atunci se va dovedi că și seria converge.
Obțineți numărul final non-zero, atunci am analizat seria converge cu următorul. De ce seria a fost aleasă pentru comparație. Dacă vom alege orice alt număr de „titular“ al seriei armonice generalizate, pe care nu am putut avea loc într-un finit, diferit de numărul zero (poate experimenta).
Notă: când folosim semnul limită de comparație, nu contează. în scopul de a alcătui proporția membrilor comuni, în exemplul considerat că relația ar putea fi întocmită dimpotrivă: - aceasta nu ar schimba esența problemei.
Semnul limită de comparație este valabil pentru aproape toate seriile, pe care le-am luat în considerare în paragraful anterior:
. . . .
Aceste serii pe modelul de ecran considerat doar trebuie comparate cu seria convergentă, respectiv :. . . .
Exemplu 11 Investigați seria de convergență
Acesta este un exemplu de auto-decizie.
Ce se întâmplă dacă polinomii sunt atât în numitor cât și în numărător? Algoritmul soluției este aproape același - trebuie să alegem pentru comparație o serie adecvată din "cusca" seriei armonice generalizate.
Exemplu 12 Investigați seria de convergență
Vedem că atît în numitor, cît și în numitor avem polinoame, iar în numitor, polinomul este sub rădăcină. Alegem o serie de comparații.
1) În primul rând trebuie să găsim gradul cel mai înalt al numitorului. Dacă nu există nici o rădăcină, atunci este clar că cel mai înalt grad al numitorului ar fi egal cu patru. Ce trebuie să faceți atunci când există o rădăcină? Acest lucru am spus deja în lecția Metode de rezolvare a limitelor. Repetarea este mama doctrinei: în mod mental sau într-o schiță, noi aruncăm toți membrii, cu excepția bătrânilor :. Dacă există o constantă, o eliminăm și ea :. Acum extrageți rădăcina :. Astfel, cel mai înalt grad al numitorului este egal cu două.
2) Aflăm cea mai mare putere a număratorului. Este evident că este egal cu unul.
3) Din gradul superior al numitorului se scade puterea cea mai mare a numărătorului: 2 - 1 = 1
astfel seriile noastre ar trebui comparate cu un număr. adică cu o serie armonică divergentă. În procesul de acumulare a experienței deciziei, aceste trei puncte pot și ar trebui să fie cheltuite mental.
Proiectarea soluției ar trebui să arate așa: "
Să comparăm această serie cu o serie armonică divergentă. Utilizăm semnul limită de comparație:
Se obține un număr nenulul finit, deci seria investigată diferă împreună cu seria armonică.
(1) Formăm raportul dintre membrii comuni.
(2) Noi scăpăm de fracțiunile cu patru povești.
(3) Deschidem parantezele numerotatorului.
(4) Incertitudinea este eliminată prin metoda standard de împărțire a numărătorului și a numitorului cu "en" la cel mai înalt grad.
(5) În linia de jos ne pregătim pentru a intra sub rădăcină:
(6) În numitor, organizăm o rădăcină comună.
Notă: în practică, elementele 5.6 pot fi ignorate, le-am mestecat foarte bine pentru cei care nu înțeleg cu adevărat cum să se ocupe de rădăcini.
(7) Împărțim numerotatorii numeric de către numitori. Marcați termenii care tinde la zero.
Exemplu 13 Investigați seria de convergență
Acesta este un exemplu de auto-decizie.
Pe măsură ce câștigați experiență în rezolvarea exemplelor, veți vedea imediat dacă o astfel de serie converge sau diverge. De exemplu, luați în considerare seria. Da, 3 - 1 = 2, atunci seriile ar trebui comparate cu seriile convergente. și deodată se poate spune că seria noastră investigată, de asemenea, converge. De afaceri pentru mici - a rămas să emită cu exactitate o soluție standard de rutină. Aici, poate, și toate informațiile inițiale despre seriile numerice pozitive, de care veți avea nevoie atunci când soluționați exemple practice. Următoarea lecție pe tema seriei numerice este semnele convergenței seriei. Semnul d'Alembert. Semnele lui Cauchy
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 2:
Notă: rețineți că variabila "contra" din acest exemplu este "încărcată" din valoare
Exemplul 7:
Împărțim numitorul și numitorul cu
Seria investigată diferă. deoarece criteriul necesar pentru convergența seriei nu este îndeplinit.
Exemplul 9: Comparați această serie cu o serie armonică divergentă.
Folosim semnul de comparație:
În cazul în care.
În cazul în care.
În cazul în care.
Astfel, inegalitatea este valabilă pentru toți termenii seriei. prin urmare, pe baza comparației, seriile studiate diferă cu seria armonică.
Notă: Și aici există un înțeles informal. Se demonstrează că seria armonică se diferențiază, de unde și suma termenilor săi :. Am arătat că membrii seriei sunt și mai mulți membri ai seriei. și este clar că suma seriei nu poate fi mai mică decât infinitul.
Exemplul 11: Comparați această serie cu o serie divergentă. Utilizăm semnul limită de comparație:
Se obține un număr finit, nonzero, deci seriile studiate diferă cu seria.
Exemplul 13: Facem aceste 3 puncte mentale sau pe o proiectie:
1) Cel mai înalt grad al numitorului: 4
2) Cel mai înalt grad al numărătorului: 1
3) 4 - 1 = 3
Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Utilizăm semnul limită de comparație:
Se obține un număr finit, diferit de zero, deci seria aflată în anchetă converge cu seria
Trimiteți-le prietenilor: