În 1975, un om de stiinta de la Universitatea din California Selwyn Steve (Steve Selvin) întrebat ce s-ar întâmpla dacă în acest moment, după deschiderea ușii, fără un premiu, participantul oferă să schimbe alegerea lor. Șansele jucătorului de a obține un premiu în acest caz și, dacă da, în ce direcție? El a trimis întrebarea relevantă sub forma unor obiective în Revista americană Statistician ( „The American Statisticianul„), precum și - la Monty Hall, care ia dat un răspuns curios. În ciuda acestui răspuns (sau poate datorită lui), problema a fost răspândită sub numele de "problema Monti Hall".
Ați participat la spectacolul Monti Hall în rolul participantului - și în ultimul moment, după ce a deschis ușa cu o capră, prezentatorul v-a invitat să vă schimbați alegerea. Va decide decizia dvs. - fie că sunteți de acord sau nu - să afecteze probabilitatea de a câștiga?
Încercați să luați în considerare persoanele care au ales în același caz (adică, atunci când premiul este, de exemplu, în spatele ușii numărul 1), ușile diferite. Cine va beneficia de schimbarea alegerii sale și cine nu?
După cum sa sugerat în tooltip, vom lua în considerare persoanele care au făcut alegeri diferite. Să presupunem că Premiul se află în spatele ușii numărul 1, iar în spatele ușilor numărul 2 și numărul 3 - capre. Să avem șase persoane și fiecare ușă a fost aleasă de două persoane, iar din fiecare pereche, una mai târziu a schimbat decizia, iar cealaltă - nu.
Rețineți că ușa selectată №1 lider una dintre cele două uși deschise la gust, în același timp, indiferent de acest lucru, masina va primi, care nu se va schimba alegerea lor, care a schimbat opțiunea inițială este lăsat fără un premiu. Acum, să ne uităm la cei care au ales ușile # 2 și # 3. Având în vedere că ușa №1 în valoare de mașină, deschide stăpânul ei nu se poate, că-l lasă nici o alegere - el deschide ușile pentru ei №3 și, respectiv, №2. În același timp, cel care a schimbat decizia în fiecare pereche ca rezultat va alege Premiul, și nu cel schimbat - va rămâne fără nimic. Astfel, din cele trei persoane care au schimbat decizia, cei doi vor primi premii, iar unul - o capră, în timp ce unul dintre cei trei care au plecat la alegerea lor inițial neschimbat primi doar un singur premiu.
Trebuie remarcat faptul că, dacă mașina se află în afara porții numărul 2 sau numărul 3, rezultatul ar fi același, doar câștigătorii specifici s-ar schimba. Astfel, presupunând că inițial fiecare ușă este ales cu probabilitate egală, constatăm că schimbarea dvs. de selecție câștigă premiul de două ori mai multe ori, adică, probabilitatea de a câștiga mai în acest caz.
Să analizăm această problemă din punctul de vedere al teoriei matematice a probabilității. Presupunem că probabilitatea selecției inițiale a fiecărei uși este aceeași, precum și probabilitatea de a găsi în spatele fiecărei uși. În plus, este util să faceți o rezervare că Lead, atunci când poate deschide două porți, le selectează pe fiecare cu probabilitate egală. Apoi, se dovedește că, după prima decizie probabilitatea ca premiul pentru ușa selectată este de 1/3, în timp ce probabilitatea ca el este - pentru una dintre celelalte două uși, este de 2/3. În același timp, după ce a condus deschis unul dintre cele două uși „neselectate“, întreaga probabilitate 2/3 au reprezentat doar una dintre ușile rămase, creând astfel o bază pentru modificarea deciziei, ceea ce va crește probabilitatea de a câștiga de 2 ori. Aceasta, desigur, nu garantează în niciun caz special, ci va duce la rezultate mai reușite în cazul repetării repetate a experimentului.
postfață
Cu toate acestea, Gardner nu a fost primul, încă din 1889, în „calculul probabilităților“ sale matematicianul francez Joseph Bertrand (a nu se confunda cu englezul Bertrand Russell!) Oferă o problemă similară (a se vedea caseta paradoxul Bertrand.): «Sunt trei cutii, fiecare din care două minciuni se află: două monede de aur în prima, două monede de argint în a doua și două monede diferite în a treia. Din cutie aleasă aleatoriu, moneda trasă la întâmplare, care sa dovedit a fi aurită. Care este probabilitatea ca moneda rămasă în cutie să fie aur? "
Dacă înțelegeți soluțiile pentru toate cele trei probleme, este ușor să observi similitudinea ideilor lor; matematic, toate acestea unesc noțiunea de probabilitate condiționată, adică probabilitatea evenimentului A, dacă se știe că a avut loc evenimentul B. Cel mai simplu exemplu: probabilitatea ca o unitate să scadă pe o matriță convențională este de 1/6; Cu toate acestea, dacă se știe că numărul scăzut este ciudat, atunci probabilitatea ca acesta să fie o unitate va fi deja 1/3. Problema Monte Hall, ca și celelalte două probleme prezentate, arată că este necesar să se ia în considerare cu atenție probabilitățile condiționate.
Aceste probleme sunt, de asemenea adesea menționată ca un paradox: Monty Hall paradox, casetele Paradox Bertrand (acesta din urmă nu trebuie confundat cu un adevărat paradox Bertrand, având în vedere în aceeași carte, care sa dovedit ambiguitatea care exista în acel moment, conceptul de probabilitate) - ceea ce implică o contradicție (de exemplu, în " paradoxul Lirului ", expresia" această afirmație este falsă "contrazice legea celei de-a treia excluse. În acest caz, totuși, nu există nicio contradicție cu afirmațiile riguroase. Dar există o contradicție clară cu "opinia publică" sau pur și simplu "o soluție evidentă" a problemei. Într-adevăr, majoritatea oamenilor se uită la problema, se crede că după deschiderea ușii unui premiu pentru probabilitatea de a găsi oricare dintre cele două rămase închise este de 1/2. Astfel, ei pretind că nu există nici o diferență, nu sunt de acord sau nu sunt de acord să-și schimbe decizia. Mai mult, mulți oameni au dificultăți în a înțelege răspunsul, diferit de acesta, chiar și după ce li sa spus o soluție detaliată.
Răspunsul lui Monti Hall către Steve Selvin
12 mai 1975
Dlui Steve Selvin,
profesor asistent de biostatistică,
Universitatea din California, Berkeley.
Vă mulțumesc pentru că mi-ați trimis o sarcină din "Statistica americană".
Deși nu am studiat statisticile de la universitate, știu că numerele pot fi folosite întotdeauna în avantajul lor, dacă aș vrea să le manipulez. Raționamentul dvs. nu ia în considerare o circumstanță esențială: după ce prima casetă este goală, participantul nu mai poate să-și schimbe alegerea. Probabilitățile rămân aceleași: una dintre cele trei, nu-i așa? Și, desigur, după ce una dintre cutii este goală, șansele nu devin 50-50, dar rămân aceleași - una dintre cele trei. Participantul pare doar că, după ce a scăpat de o cutie, are șanse mai mari. Deloc. Doi la unu împotriva lui, așa cum a fost, a rămas. Și dacă brusc veniți la mine la spectacol, regulile vor rămâne la fel pentru tine: nici o schimbare de cutii după alegere.
Data viitoare propun să joc în curtea mea. Am studiat chimia și zoologia. Vrei să știi care sunt șansele tale de supraviețuire cu aerul și apa noastră poluată?
Cu sinceritate,
Monty
Trimiteți-le prietenilor: