Fizica teoretică
Un elev al celui de-al cincilea an de fizică și matematică, gr. RP-61
Filatov Alexandru Sergeevici
Tema: "Transformări canonice. Funcția Hamilton-Jacobi. Separarea variabilelor »
Obiective. Dezvoltați abilitățile de a folosi transformările canonice. Pentru a stabili capacitatea de a efectua transformări Legendre pentru a merge la funcția de generare de la variabilele necesare. Învață-ne să folosim metoda Hamilton-Jacobi pentru rezolvarea problemelor cu separarea variabilelor. Formați o înțelegere a esenței și a puterii metodei. Educați diligența, diligența.
Tip de ocupație. practic.
Cursul lecției
Scurt informații teoretice
Transformări canonice ale variabilelor # 150; Acestea sunt transformări în care se păstrează forma canonică a ecuațiilor lui Hamilton. Transformările sunt realizate cu ajutorul unei funcții generatoare, care este o funcție a coordonatelor, impulsurilor și timpului. Diferența totală a funcției de generare este definită după cum urmează:
Alegerea unei funcții de generare din diferite variabile, obținem forma corespunzătoare a transformărilor canonice. Rețineți că, dacă derivatul parțial este preluat "mic". atunci vom obține un mic. dacă pe "mare". atunci vom primi în mod corespunzător.
Când se ia în considerare acțiunea în funcție de coordonate (și de timp), o expresie pentru impuls urmează:
Din reprezentarea derivatului total al acțiunii în raport cu timpul, ecuația Hamilton-Jacobi urmează:
Aici, acțiunea este văzută ca o funcție a coordonatelor și a timpului.
Prin integrarea ecuației Hamilton-Jacobi. găsiți reprezentarea acțiunii ca integral integral, care este o funcție a constantelor s, a timpului și s +1 (s # 150; numărul de grade de libertate). Deoarece acțiunea intră în ecuația Hamilton-Jacobi numai ca derivat, una dintre constante este conținută în integral integral într-un mod aditiv, adică întregul integral are forma:
Constanta A nu joacă un rol important, deoarece acțiunea intră peste tot numai ca un derivat. A stabilește că, de fapt, doar constantele s schimbă acțiunea într-un mod esențial. Aceste constante sunt determinate de condițiile inițiale ale ecuațiilor de mișcare, care pentru orice valoare a lui A va avea aceeași formă ca și ecuația lui Hamilton-Jacobi.
Pentru a clarifica legătura între integralul integral al ecuației. și ecuațiile de mișcare de interes pentru noi, este necesar să facem o transformare canonică prin alegerea integrală a acțiunii ca funcție generatoare.
Constantele vor acționa ca impulsuri noi. Apoi, noile coordonate
de asemenea, vor fi constante, pentru că
Exprimarea coordonatelor sub formă de funcții de. primim legea mișcării:
Soluția problemei găsirii dependenței este mult simplificată în cazul separării variabilelor. Acest lucru este posibil dacă unele coordonate pot fi asociate numai cu impulsul lor corespunzător și nu sunt asociate cu alte impulsuri sau coordonate care intră în ecuație. În special, această condiție este satisfăcută pentru variabilele ciclice.
Astfel, găsirea ecuațiilor de mișcare prin metoda Hamilton-Jacobi reduce la următoarele:
- alcătuiesc funcția Hamilton;
- scrieți ecuația G.-J. și să determine care variabile sunt separate;
- Prin integrarea ecuației H.-J. obține forma integrală integrală;
- Creați un sistem de ecuații și obțineți legea mișcării;
- Dacă este necesar, găsiți legea schimbării impulsurilor. De ce diferențiați întregul integral cu privire la coordonate. și apoi să înlocuiască forma lor explicită obținută în paragraful 4.
Exemple de rezolvare a problemelor
După cum știm, înlocuirea funcției Lagrange cu
unde # 150; o funcție arbitrară, nu modifică ecuațiile Lagrangian. Arătați că această transformare este canonică și găsiți funcția ei generatoare.
Rescriim funcția Lagrange primită, reprezentând derivatul total al funcției în termenii celor parțiale:
Funcțiile hamiltonian corespunzătoare funcțiilor Lagrange primate și neimprimate sunt definite după cum urmează:
O vom scrie. folosind reprezentarea funcției Lagrange primite.
Înlocuirea formulelor în expresia funcției de trapă Hamilton. obținem:
Reducerea reciprocă a celui de-al doilea termen la ultimul, ținând cont de dependență. obținem:
Dar, conform transformării canonice cu funcția de generare Φ
Relația rezultantă determină condiția pe partea de timp a funcției de generare a transformării canonice corespunzătoare transformării funcției Lagrange.
Deoarece forma momentei și coordonatelor generalizate în transformarea funcției Lagrange nu sa schimbat, partea coordonată-moment a funcției de generare trebuie să corespundă transformării canonice a identității. După cum sa arătat în Problema 9.32 [] (a treia parte a preludiului), funcția generatoare care definește transformarea canonică identică cu Hamiltonianul nemodificat are forma:
Luând în considerare condiția privind partea de timp a funcției de generare, obținem în cele din urmă:
Funcția de generare care rezultă determină transformarea canonică a identității cu înlocuirea funcției Hamiltonian prin înlocuirea corespunzătoare a funcției Lagrange.
Sarcina. Un sistem format din două bile de masă. conectat de un arc fără greutate, situat vertical, începe să se miște în câmpul de gravitație. Lungimea arcului. Efectuați o transformare canonică și scrieți noua funcție hamiltoniană corespunzătoare funcției de generare
Să compunem Hamiltonianul sistemului:
Aici energia potențială constă în energia vibrațiilor armonice și energia potențială a bilelor în câmpul forțelor gravitaționale. Prin definirea unui câmp potențial:
Avem de-a face cu o mișcare unidimensională, astfel încât gradientul din formula este înlocuit cu derivatul în raport cu x. În același timp, forța este forța totală a gravitației. Având în vedere principiul suprapunerii câmpului gravitațional, integrăm ultima ecuație:
Valoarea deplasării arcului din poziția de echilibru se determină după cum urmează:
Înlocuirea expresiilor din formula. obținem forma formei funcției Hamiltonian exprimată în momente și coordonează explicit:
Trecerea la noi variabile canonice se face în cazul în care este posibil să se simplifice forma funcției hamiltonian și astfel ieșire din ea ecuațiile de mișcare.
În această situație, este convenabil să se aleagă noi coordonate, astfel încât să se descrie mișcarea centrului de masă al sistemului și a doua oscilație a arcului în cadrul propriu de referință. Să verificăm dacă funcția de generare dată în condiție corespunde acestei transformări.
Noua coordonată coincide cu valoarea deplasării arcului din poziția de echilibru.
Noua coordonată coincide cu valoarea poziției centrului de masă al sistemului.
Adăugând ambele ecuații, obținem:
# 150; masa redusă.
Notăm funcția Hamiltoniană în noile variabile:
# 150; masa totală a sistemului.
Într-adevăr, funcția Hamiltoniană în noile variabile a fost împărțită în două părți, ceea ce corespunde a două perechi de ecuații canonice. O parte descrie oscilațiile bilelor în propriul cadru de referință, cealaltă # 150; mișcarea sistemului în ansamblul său în domeniul gravitației.
Nu. 9.21 [] Găsiți întregul integral al ecuației G.-Ya. și legea liberei circulații a unui punct material.
1. Să compunem funcția Hamiltoniană a unei particule libere:
2. Se scrie ecuația H.-J.
3. Se separă variabilele și se integrează în timp.
Utilizăm condiția inițială:
Apoi, înlocuind formularul funcției S în ecuația Γ. acesta din urmă va lua forma:
În consecință, integralul integral al ecuației G.-J.
4. Legea mișcării este determinată de transformarea canonică:
De unde vine legea mișcării?
5. Momentul unui punct material în mișcare liberă se determină după cum urmează:
Într-adevăr, în absența unui câmp extern, particula se mișcă cu un impuls constant.
Tema:
Găsiți funcția de generare a formularului. ceea ce conduce la aceeași transformare canonică.
9.38 [] Găsiți ecuația că funcția de generare satisface. generând o transformare canonică la momente și coordonate constante.
Nu. 9.23 [] Găsiți integralul integral al ecuației H.-J. pentru un corp care se deplasează de-a lungul unui plan înclinat neted, care face un unghi cu orizontul.
Nr. 12.1 a) [] Găsiți traiectoria și legea de mișcare a particulei în câmp
Referințe:
- LD Landau, E.M. Lifshits "Mecanica, electrodinamica", - M. "Science", 1969 - 272 p.
- LD Landau, E.M. Lifshits "Mecanica", M. "Science", 1965 - 204 p.
- II Olkhovsky, Yu.G. Pavlenko, L.S. Kuzmenkov "Probleme în mecanica teoretică pentru fizicieni". - M. 1977 - 389 cu.
- GL Kotkin, V.G. Serbo "Colecția de probleme în mecanica teoretică", M. "Nauka", 1977 - 320 p.
- IV Meshchersky "Colecția de probleme în mecanica teoretică", M. "Science", 1986 - 448 p.
- LP Grechko, V.I. Sugakov, OF Tomasevich, A.M. Fedorenko "Colecția de probleme în fizica teoretică", M. "Școala superioară" 1984 - 319 p.
Student-cursant: Filatov A.S.
Trimiteți-le prietenilor: