REAL NUMERII II
§ 38 Forma zecimală a numerelor raționale
În practică, utilizați de obicei zecimal, forma de scriere a numerelor raționale. Deci, în loc de 1/2 scrie 0.5; în loc de - 3/8 scriu - 0,375; în loc de 5/4 write și 1,25 m. pe. Pentru simplificare, vom vorbi doar despre fracții pozitive și corecte, de exemplu, fracțiuni, în intervalul la 0 la 1.
Pentru a obține forma zecimală a numărului m / n. Este necesar să împărțiți colțul în n. Așa cum se știe din aritmetică, ca urmare a acestei divizări, se obține fie una finită. sau o zecimală periodică infinită. Vom exemplifica acest lucru cu numerele 5/16. 1/3 și 29/110.
5/16 = 0,3125 (fracțiunea zecimală finală);
1/3 = 0,3333. (o zecimală periodică infinită cu o perioadă de 3);
29/110 = 0,26363. (o zecimală periodică infinită cu o perioadă de 63).
Perioada începe fie imediat după virgulă (de exemplu, 0.333.), Fie după mai multe zecimale care nu sunt incluse în perioadă (de exemplu, 026363.). În consecință, toate fracțiunile zecimale periodice sunt împărțite în simple (cum ar fi 0.333.) Și amestecate (cum ar fi 0.26363.).
Perioada de fracție zecimală fără sfârșit, care se obține prin împărțirea la numărul întreg „zonă“ poate fi orice număr întreg; Se exclude numai cazul când este alcătuit dintr-o singură ninetă. (Pe o dovadă riguroasă a acestui fapt, nu va locui.) Rețineți că orice fracție zecimală finită poate fi considerată ca o fracție periodică infinit, cu o perioadă de 0. De exemplu,
și așa mai departe.Astfel, orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică infinită, a cărei perioadă este diferită de 9.
Afirmația inversă este adevărată: orice fracție periodică infinită cu o perioadă diferită de 9 este un număr rațional.
Vom amâna dovada acestei afirmații la paragraful 148. Între timp, să reamintim doar regulile aritmetice cunoscute pentru inversarea fracțiunilor zecimale periodice la fracțiile obișnuite. Pentru simplitate, presupunem că toate zecimalele pe care le considerăm sunt pozitive și mai puțin de una.
Articolul 1. Pentru tratamentul unui simplu periodice, împușcat în comun trebuie să faceți următoarele: a pus în numărătorul fracției în timpul zeciuiala, iar numitorul este numărul format din nouari luate ori de câte ori caractere în fracțiune perioada decyatichnoy.
Regula 2. Pentru manipularea amestecat periodic în zecimal obișnuit necesar să se procedeze după cum urmează: ia numărătorul numărul în fracția zecimală într-o a doua perioadă, minus numărul în zecimal prima perioadă; în numitorul necesitatea de a scrie cât mai multe numere de nouari ca în perioada, și atribuită lui cât mai multe zerouri ca cifre în virgulă zecimală inițială înainte de prima perioadă. De exemplu,
Rețineți că fracțiunile periodice infinite cu perioada 9 pot fi de asemenea date cu o anumită însemnătate dacă, în mod oficial, folosind regulile 1 și 2, ele sunt reprezentate ca un raport de două numere întregi. De exemplu, regula 1 dă
și așa mai departe. d. Toate cele de mai sus sunt zecimale periodice infinite cu perioada 9 au fost fracții zecimale finite rannymi, care sunt obținute din datele zecimale, dacă zecimală, în picioare în fața primei perioade, a crescut cu 1, și toate zecimală ulterioare aruncate. Se poate demonstra că acest lucru nu se aplică doar celor luate în considerare, dar, de asemenea, orice alte periodice cu zecimale, perioada de 9. Aceasta înseamnă că orice fracție zecimală finită poate fi reprezentat ca un infinit fracții periodice în două moduri diferite: cu perioada cu perioada 0 și 9 De exemplu,
0,37 = 0,37 milioane. = 0,369999. ;
0,6 = 0,600000. = 0,599999.
Această circumstanță complică prezentarea teoriei fracțiilor zecimale periodice infinite. De aceea, în viitor, suntem de acord să nu vorbim deloc despre zecimale periodice cu o perioadă de 9, de fiecare dată când le înlocuim cu fracțiunile periodice corespunzătoare cu perioada 0.
Deci, numerele raționale (și numai ele) sunt reprezentate sub formă de fracțiuni zecimale periodice infinite. Există zecimale infinite neperiodice? Această întrebare este rezolvată pozitiv. Pentru a vedea acest lucru, este suficient să dați cel puțin un exemplu de fracțiune zecimală neperiodică infinită. Un astfel de exemplu dă, în special, o fracțiune
(după virgulă, numerele 10, 100, 1000, 10.000 etc. sunt scrise consecutiv). Încercați să demonstrați că fracțiunea zecimală indicată este într-adevăr neperiodică!
În paragrafele următoare, vom lua în considerare problemele specifice care ne conduc la infinite fracțiuni zecimale neperiodice.
300. Scrieți sub formă de fracții zecimale infinite:
301 *. Aceste zecimale periodice sunt convertite în zecimale obișnuite:
a) 0,44444444. ; c) 4,636,363. ; e) - 2,001777. ;
b) 10,521521. ; d) 0,573636 ..; (e) 7,090,909.
302. Se știe că fracțiunea ireductibilă m / n este reprezentată ca o fracție zecimală finită. Pe ce numere poate fi împărțit numărul n fără restul?
303 *. De ce, atunci când divizăm numerele întregi printr-un "colț", obținem întotdeauna fracțiuni periodice?
304 *. Dovedește fracțiunea
care se obține dacă, după zero, toate numerele naturale sunt scrise succesiv, nu este periodic.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: