Leonard Euler (1707-1783). Portretul lucrării lui YE Handmann, 1753 Imagine de pe site-ul en.wikipedia.org
Teorema lui Euler.Numărul de partiții ale numărului N în perechi distincte ("partiții stricte") este egal cu numărul partițiilor lui N în sume ciudate ("partiții ciudate").
În butonul de instrucțiuni, a fost specificată o metodă care face posibilă obținerea unei cote ciudate de la orice partiție strictă. Pentru a face acest lucru, fiecare număr par, care intră în partiție în termeni diferiți, trebuia împărțit în jumătate, adică reprezentând suma a două jumătăți egale. Apoi repetați acest proces până când nu există numere parțiale.
De exemplu, partiția 75 = 18 + 15 + 13 + 9 + 8 + 7 + 4 + 1 obține 15 + 13 + 3 + 9 7 + 1 13. unde superscript nu denotă exponentiation, iar numărul de repetiții ale termenului (adică de fapt, ele sunt un multiplicator, dar în literatura matematică privind partițiile această notație sa stabilit).
Pentru a dovedi corespondența unu-la-unu a unei astfel de corespondențe, acum este necesar să explicăm cum să restabilim una strictă originală printr-o partiție ciudată (de exemplu 15 + 13 + 9 3 + 7 + 1 13). Cu numerele ciudate care apar doar o singură dată, totul este clar - erau în partiția inițială. Dar din ceea ce sa dovedit 9 3. Deoarece numărul repetițiilor este ciudat, chiar numărul 9 din partiție a fost. În afară de aceasta, rămâne și 9.2, care putea fi obținută doar de la numărul 18. Deci, am restabilit 9 3 ← (9, 18). În mod similar, se poate face și 1 13:
1 13 ← (1, 2 6) ← (1, 4 3) ← (1, 4, 4 2) ← (1, 4, 8).
Ai înțeles deja modelul? Este la fel de simplu ca este frumos: fiecare „index“ este scris ca o sumă de diferite puteri de două (de exemplu, a emis notație binar), după care fiecare dintre gradele disponibile corespunde cu termenul său în original partiția „strict“. Acest lucru devine destul de clar dacă luăm în considerare că unul dintre chiar și termenul în partiția strictă ar putea primi doar 2, 4, 8, 16, etc ciudat - .. Aceasta este, „contribuția“ a fiecărui termen din suma totală este întotdeauna o putere de două, și așa mai departe deoarece nu există termeni egali, atunci toate gradele sunt diferite.
James Whitbread Lee Glacier (1848-1928). Imagine de pe site-ul ru.wikipedia.org
Aceasta este o corespondență remarcabilă a fost inventat în matematicianului englez la sfârșitul secolului al XIX-lea, James Whitbread Lee Glaisher (din păcate, rezultatele cercetărilor sale au fost în principal legate de domeniile matematicii, care nu sunt predate în orice liceu, sau chiar în licee non-matematice, astfel încât publicul larg este complet necunoscută). Cu toate acestea, el a fost acordat două premii matematice foarte importante ale timpului său - De Morgan Medalia în 1908 (aceasta este cea mai înaltă distincție a Mathematical Society din Londra, se acordă o dată la trei ani) și Medalia Sylvester în 1913 (cea mai înaltă distincție a Royal Society).
În problema partițiilor ciudate, meritul lui Glaiser este că el a venit nu numai cu o nouă abordare a soluției, dar a dat și o generalizare remarcabilă a problemei:
Teorema lui Glaxer Numărul de partiții ale unui întreg N în părți care nu se divide cu un număr d este egal cu numărul partițiilor lui N în termeni în care nici o parte nu este repetată d sau de mai multe ori.
Dar povestea corespondențele dintre partițiile impare și stricte ar fi cu siguranță incompletă fără o mențiune de o altă corespondență remarcabilă între ele, inventat de James Joseph Sylvester (deci, după care este numit medalia menționată mai sus).
James Joseph Sylvester (1814-1897). Imagine de pe site-ul ru.wikipedia.org
Sylvester a fost, aparent, primul matematician care a investigat descompunerea numerelor în termeni prin intermediul imaginilor de verificare. Ulterior, aceste imagini au fost numite "diagrama tânără" sau "diagrama Ferrers" în onoarea altor doi matematicieni britanici, contemporani mai tineri J. Sylvester.
Să fie o partiție în summanduri ciudate. Sylvester a sugerat să elaboreze o diagramă în care acest termen corespunde șirurile orizontale (linii) și aranjate simetric în raport cu rândurile centrului (acest lucru se poate face datorită tuturor termenilor Odd, Fig. 1). Și pentru a stabili corespondența, el a considerat "cârligele", care în Figura 1 sunt reprezentate de rânduri de culori alternante. Primul cârlig trece de la partea de jos de-a lungul rândului central la rândul superior și apoi continuă de-a lungul acestei linii spre dreapta. Cârligul următor - lângă rândul din stânga din nou până la rândul de sus, apoi de-a lungul primei linii până la capătul din stânga. Apoi - din nou cârligul din dreapta, dar deja pe a doua linie și așa mai departe. Ca rezultat, obținem partiția (18, 15, 13, 9, 8, 7, 4, 1) deja cunoscută conform corespondenței Ghețarului. Nu este frumos? Din păcate, Sylvester nu ia dat lui Slyvester aceeași întoarcere frumoasă. În schimb, el a oferit doar o dovadă algebrică că o astfel de corespondență este una la una.
Apropo, Sylvester nu sa limitat la o nouă corespondență și, întâmplător, în aceeași lucrare, a dovedit și alte câteva fapte noi despre partiții ciudate și stricte. În special, a găsit o corespondență între partiții ciudate care conțin numere distincte și numere distincte și partiții în numere distincte care conțin exact "lanturi" - subsecvențe ale numerelor naturale consecutive. Acest lucru la condus la următoarea teoremă.
Teoria lui Sylvester (1882), numărul de partiții ale numărului N în părți ciudate, dintre care exact numere distincte, este egal cu numărul partițiilor N în diferite părți, în care se întâlnesc exact lanțurile k.
Este clar că rezultatul original al lui Euler este obținut ca un corolar al teoremei lui Sylvester - un simplu plus față de toate k.
Desenați imaginea partiției în diferite părți, pornind de la cele mai mici părți, adică din unitate: 1 + 4 + 7 + 8 + 9 + 13 + 15 + 18 (Figura 2). Dacă numărul de piese este ciudat, adăugați cea mai mică parte la 0. Puneți prima parte în primul rând, a doua parte în linia de dedesubt și aliniați-o la marginea din stânga a primei linii. Am pus a treia parte în a treia linie, dar aliniem-o cu a doua linie spre dreapta și așa mai departe, alternând alinierea de-a lungul marginilor din stânga și din dreapta. Deoarece toate piesele sunt diferite, ca rezultat, toate marginile verticale (ambele stânga și dreapta), cu excepția ultimelor, vor avea o înălțime de 2.
În plus, gras trage o linie verticală - separator - la o distanță de marginea din dreapta egală cu suma componentelor unei alternante d = 18 - 15 + cele 13 - + 9 8 - 7 + 4 - 1 = 11. Apoi, toate coloanele la dreapta separatorului cuprind un număr impar de celule ( după fiecare element vertical al unuia dintre rândul inferior și un număr egal de alte rânduri) și pot fi considerate ca suma termenilor impare: 7 + 7 + 7 + 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 (aceste numere sunt semnate în primul rând sub diagrama din dreapta separatorului). În acest caz, toate numerele consecutive impare de la 1 la 7 apar cel puțin o dată. În consecință, un 1 poate adăuga numărul de celule din perechea rândului inferior la stânga separatorului (adică 14) 3 - numărul de celule într-o pereche de aceste linii (10), la 5 - celulele următoarea pereche (8) și de 7 - Cells ultima pereche de linii (2). Acești termeni sunt semnate în al doilea rând de sub diagrama. În cele din urmă, în al treilea rând, sumele primei și celei de-a doua linii sunt, de asemenea, impare, deoarece întreaga linie a doua este formată din numere paralele. Este clar că fiecare celulă din diagramă este luată în considerare exact o dată - celulele din dreapta separatorului sunt incluse în termenii primului rând. Și celulele din stânga separatorului au intrat în termenii liniei a doua. Astfel, am obținut o corespondență între diferite summands și summands ciudat și aceeași corespondență cu cea sugerată de Sylvester.
Și cum să construim corespondența inversă? Metoda Kim - Și aici, în multe privințe, repetă modul în care Sylvester, dar pare, poate, chiar mai natural.
Noi scriem secvență de numere descrescătoare partitie impar (a1 = 15, a2 = a3 = 13, a4 = 9, a5 = a6 = 7, a7 = a8 = a9 = 3, a10 = a11 = 1) și va scădea 1 din primul membru, din al doilea - 3, din al treilea - 5, și așa mai departe, până când diferențele sunt pozitive. Asta este, vom scrie ecuația 1 + 15 = 14, 13 = 3 + 10, 13 + 5 = 8, 9 = 7 + 2. Acest lucru ne dă imediat partiția corectă sub curba a treia linie de pe prima și a doua. Apoi, toate din prima linie în graficul de derulare rapidă înainte spre dreapta separatorului, și fiecare număr par de al doilea rând, „vom pune“ în două rânduri de pe partea stângă a separatorului. Ca rezultat, obținem o diagramă în care linia de jos va fi cea mai lungă și fiecare linie următoare va fi mai scurtă decât cea anterioară. Rezumând celulele acestei diagrame în rânduri, obținem o partiție în diferite summe.
Rezultatul lui Kim - I - chiar dacă de fapt pur și simplu a reformulat Sylvester - folosește noțiunea de delimitator care nu era în original. De asemenea, ne permite să dovedim un fapt mai puternic. Dar, în mod surprinzător, nici măcar acest lucru, ci faptul că acest fapt a fost descoperit cu câțiva ani mai devreme decât o imagine frumoasă din partea coreenilor a apărut!
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: