O funcție y = f (x) se numește diferențiată la un punct x0. Dacă în acest moment are un derivat definit, adică Dacă limita relației există și este finită.
Dacă funcția este diferențiabilă în fiecare punct al unui interval [a; b] sau interval (a; b), atunci spunem că este diferențiat pe intervalul [a; b] sau, respectiv, în intervalul (a; b).
Următoarele teoreme sunt valide, stabilind o legătură între funcțiile diferențiate și cele continue.
Teorema. Dacă funcția y = f (x) poate fi diferențiată la un anumit punct x0. atunci este continuă în acest moment.
Astfel, diferențiabilitatea unei funcții implică continuitatea ei.
Dovada. Dacă, atunci
unde α este infinitezimală; o cantitate care tinde la zero ca Δx → 0. Dar apoi
Astfel, la punctele de discontinuitate funcția nu poate avea un derivat. Conversia nu este adevărată: există funcții continue care la unele puncte nu sunt diferențiate (adică nu au un derivat în aceste puncte).
Luați în considerare în figură punctele a, b, c.
În punctul a pentru Δx → 0, raportul nu are limită (deoarece limitele unilaterale sunt diferite pentru Δx → 0-0 și Δx → 0 + 0). La punctul A al graficului nu există nici o tangentă definitivă, dar există două tangente diferite cu unghiuri cu coeficienți unghiali k1 și k2. Acest tip de puncte se numește puncte de colț.
La b, pentru Δx → 0, raportul este o cantitate infinit de mare, un semn-constant. Funcția are un derivat infinit. În acest moment, graficul are o tangentă verticală. Tipul punctului este "punctul de inflexiune" al tangentei verticale.
La punctul c, derivatele unilaterale sunt cantități infinit de mari de semne diferite. În acest moment, graficul are două tangente verticale topite. Tip - "punct de retur" cu tangenta verticală - un caz special de punct de colț.
- Luați în considerare funcția y = | x | Această funcție este continuă la punctul x = 0; .
Arătăm că în acest moment nu are un derivat.
Dar apoi pentru Δx <0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)
astfel raportul la Δx → 0 are limite diferite în dreapta și în stânga, ceea ce înseamnă că raportul dintre limită nu are, adică, derivatul funcției y = | x | la punctul x = 0 nu există. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că la punctul x = 0 această "curbă" nu are o tangentă definitivă (în acest moment există două).
În consecință, funcția în cauză nu este diferențiată la punctul x = 0. Tangenta la curbă în acest punct formează un unghi p / 2 cu axa abscisă, adică coincide cu axa Oy.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: