Curs 8. EXTREME LOCALE
1. Semne ale monotonicității unei funcții.
2. Puncte ale extremumului local și global al unei funcții.
3. Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum local al unei funcții.
4. Valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții pe un interval.
1. Semne ale monotonicității unei funcții.
Cu ajutorul funcției derivate putem face un studiu complet al acesteia (găsim intervalele de creștere și descreștere, extrema, punctele de inflexiune, intervalele convexității și concavității, asimptotele graficului) și construim un grafic al acestei funcții.
Teoremă 1. Pentru ca funcția care poate fi diferențiată pe (a; b) să nu scadă (nu crește) pe acest interval,
Este necesar și suficient
F (x 0) = f (x) - f (x 0) <0 ( ∆ f ( x 0 ) = f ( x ) − f ( x 0 )> 0).
Valoarea lui f (x 0) se numește maximul local (mini-
max () f (x) = f (x 0)
(min) f (x) = f (x 0)).
Punctele maximului sau minimului funcției sunt numite punctele extreme ale funcției. iar maximele și minimele funcției sunt numite extrema funcției.
Extremele unei funcții sunt de natură locală - aceasta este valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții în comparație cu valorile din apropiere. Dacă funcția f (x) pe [a; b] ime-
Există mai multe maxime și minime, atunci este posibilă situația în care maximul funcției este mai mic decât minimul său.
Cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției pe [a; b] -called
sunt extrema minimă absolută și maximă sau globală a funcției f (x)
Indicat. min f (x). max f (x).
x [a; b] x [a; b]
3. Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum local al unei funcții.
Teorema 2. Dacă la punctul x 0 funcția f (x) ajunge la ex-
atunci derivatul său în acest punct este zero sau nu există.
► Fie f (x) să atingă un maxim în punctul x 0. Apoi este
atunci există un derivat f '(x 0) și f' (x 0) = f - '(x 0) = f +' (x 0) = 0.
În cazul în care f - '(x 0) și f +' (x 0). sunt diferite de zero, atunci derivatul f '(x 0) nu există.
În mod similar, demonstrăm cazul în care x 0 este un punct minim.
Semnificația geometrică a teoremei. în punctele de la extrema lui f (x) tangenta la graficul său
1) este paralel cu axa abscisa, daca exista f '(x 0) = 0 (Fig.2.a);
2) este paralelă cu axa ordinii dacă f '(x 0) este infinită (figura 2b);
3) există tangente neangajate stânga și dreapta dacă f - '(x 0) ≠ f +' (x 0) (figura 2c).
Definiția 2. Punctele la care derivă o funcție
y = f (x) dispare sau nu există
puncte critice sau puncte de extremum posibile. Punctele,
în care derivația funcției y = f (x) dispare,
2) dacă n este egal și f (n) (x 0)> 0. atunci x 0 este un punct minim local;
3) dacă n este ciudat, atunci x 0 nu este un punct local
4. Valorile cele mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un interval.
Una dintre principalele caracteristici ale funcției f (x) a intervalului
[A; b] sunt extremele sale globale, adică Valorile cele mai mari și mai mici ale f (x) pe [a; b].
Dacă funcția f (x) este continuă pe [a; b]. atunci este nevoie de cele mai mari și mai mici valori la capetele acestui segment
sau în punctele extreme ale sale locale. Prin urmare, pentru
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: