Se spune că un sistem este cooperant sau decisiv dacă are cel puțin o soluție. Sistemul este numit incompatibil sau insolubil. dacă nu are soluții.
Un SLAU definit, nedefinit.
Dacă SLAU are o soluție și este singura, se numește definitivă și dacă soluția nu este unică, atunci este nedefinită.
Matricile ne permit să scriem pe scurt sistemul de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului și coloanele matricei cu termeni necunoscuți și liberi
și anume ca rezultat al produsului, obținem laturile stânga ale ecuațiilor sistemului dat. Apoi, folosind definiția egalității matricelor, sistemul dat poate fi scris în formă
Aici sunt cunoscute matricile A și B, iar matricea X nu este cunoscută. De asemenea, trebuie găsit, tk. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matricei.
Fie determinantul matricei un nonzero | A | ≠ 0. Apoi ecuația matricei este rezolvată după cum urmează. Înmulțim ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A -1. inversul matricei A. Deoarece A -1 A = E și E # 8729; X = X. atunci obținem soluția ecuației matricei în forma X = A -1 B.
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsit pentru matricele pătrate numai, atunci metoda de matrice pot fi rezolvate numai acele sisteme în care numărul coincide cu numărul de ecuații necunoscutele.
Metoda Cramer este că găsim succesiv principalul determinant al sistemului. și anume determinant al A. D = det (ai j) și n determinantul D auxiliar i (i =), care se obțin prin înlocuirea determinantul D membri coloana i-lea coloană liberă.
Formulele lui Cramer au forma: D × x i = D i (i =).
Rezultă regula lui Cramer, care dă un răspuns exhaustiv la problema compatibilității sistemului dacă determinant principal al sistemului este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, definită prin formula: x i = D i / D.
Dacă determinantul principal al sistemului D și toți determinanții auxiliari D i = 0 (i =), atunci sistemul are un număr infinit de soluții. Dacă determinantul principal al sistemului este D = 0 și cel puțin un determinant auxiliar este diferit de zero, atunci sistemul este incompatibil.
Teoremă (regula Cramér): Dacă determinantul sistemului # 916; ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are o singură soluție, și
Dovada: Astfel, considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțim ecuația i a sistemului prin complementul algebric A11 al elementului a11. A doua ecuație este pentru A21 și a treia pentru A31:
Să combinăm aceste ecuații:
Considerăm fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema privind expansiunea determinantului de către elementele din prima coloană.
Apoi, ia în considerare coeficienții de x2:
În mod similar, se poate demonstra că și.
În sfârșit, este ușor să vezi asta
Astfel, obținem egalitatea :. În consecință ,.
În mod similar, derivăm ecuațiile și. de unde urmează aserțiunea teoremei.
Teorema lui Kronecker-Capelli.
Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Dovada: Se împarte în două etape.
1. Lăsați sistemul să aibă o soluție. Vom arăta asta.
Fie ca setul de numere să fie o soluție a sistemului. Denumiți de coloana a matricei. . Apoi. adică coloana termenilor liberi este o combinație liniară de coloane a matricei. Lasă-l să fie. Să presupunem asta. Apoi. Alegem o bază minoră. Are ordin. Coloana termenilor liberi trebuie să treacă prin acest minor, altfel va fi minorul de bază al matricei. Coloana termenilor liberi în minor este o combinație liniară a coloanelor matricei. Prin proprietățile determinantului. unde este determinantul, care este obținut de la minor, prin înlocuirea coloanei termenilor liberi cu o coloană. Dacă coloana trece prin minorul M, atunci c. vor exista două coloane identice și, în consecință. Dacă coloana nu trece printr-un minor. atunci aceasta va diferi de matricea r + 1 minore doar în ordinea coloanelor. Deci, cum. atunci. Astfel. care contravine definiției minorului de bază. Prin urmare, presupunerea că. este incorectă.
2. Să presupunem că. Arătăm că sistemul are o soluție. Deci, cum. atunci baza minimă a matricei este minorul de bază al matricei. Lăsați coloanele să treacă prin minor. Apoi, prin teorema pe baza minorei în matrice, coloana termenilor liberi este o combinație liniară a coloanelor indicate:
Să o punem. . . . Cele necunoscute rămase sunt considerate a fi zero. Apoi pentru aceste valori obținem
În virtutea (1). Ultima egalitate înseamnă că setul de numere este o soluție a sistemului. Existența soluției este demonstrată.
În sistemul discutat mai sus. și sistemul este partajat. În sistem. . iar sistemul este inconsistent.
Notă: Deși teorema Kronecker-Capelli face posibilă determinarea dacă un sistem cooperează, acesta este folosit destul de rar, în principal în studii teoretice. Motivul este că calculele efectuate atunci când se găsește rangul matricei, coincid în esență cu calculele atunci când găsim soluția sistemului. Prin urmare, de obicei, în loc de a găsi și. ei caută o soluție la sistem. Dacă se poate găsi, atunci aflăm că sistemul este compatibil și, în același timp, obținem soluția. Dacă soluția nu poate fi găsită, vom concluziona că sistemul este incompatibil.
Un algoritm pentru găsirea soluțiilor unui sistem arbitrar de ecuații liniare (metoda Gauss)
Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute. Este necesar să găsească soluția sa generală, dacă este în comun, sau să-și stabilească incoerența. Metoda care va fi discutată în această secțiune se apropie de metoda de calcul a determinantului și de metoda de determinare a rangului matricei. Algoritmul propus este numit metoda Gauss sau metoda de eliminare secvențială a necunoscutului.
Scriem matricea extinsă a sistemului
Noi numim operații elementare următoarele operații cu matrici:
1. permutarea liniilor;
2. Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
3. adăugarea unei linii cu un alt șir, înmulțită cu un număr.
Observăm că atunci când rezolvăm un sistem de ecuații, spre deosebire de calculul determinantului și de găsirea rangului, nu se poate opera cu coloanele. Dacă reconstruim sistemul de ecuații din matricea obținută din operația elementară, atunci noul sistem va fi echivalent cu cel original.
Scopul algoritmului - prin aplicarea unei secvențe de operații elementare a matricei pentru a se asigura că fiecare linie, cu excepția, poate, prima pornire cu zero, iar numărul de zerouri înaintea primului element nenul din fiecare linie următor a fost mai mare decât în cea anterioară.
Pasul algoritmului este după cum urmează. Gasim prima coloana nonzero in matrice. Să fie o coloană cu un număr. Noi găsim un element nonzero și schimbăm rândul cu acest element cu primul rând. Pentru a nu aduna o notație suplimentară, vom presupune că o astfel de schimbare de rânduri în matrice a fost deja făcută, adică. Apoi, la a doua linie, adăugăm prima, înmulțită cu numărul. la a treia linie vom adăuga prima, înmulțită cu un număr. și așa mai departe. Ca rezultat, obținem matricea
(Primele coloane zero sunt, de regulă, absente.)
Dacă în matrice există o linie cu numărul k, în care toate elementele sunt egale cu zero, a. atunci algoritmul este oprit și putem concluziona că sistemul este incompatibil. Într-adevăr, prin reconstituirea sistemului de ecuații în matricea extinsă, obținem că ecuația va avea forma
Această ecuație nu este satisfăcută de niciun set de numere.
Matricea poate fi scrisă în formă
În ceea ce privește matricea, realizăm etapa descrisă a algoritmului. Obținem matricea
în cazul în care. . Această matrice poate fi din nou scrisă în formă
iar algoritmul algoritmului descris mai sus poate fi aplicat din nou la matrice.
Procesul se oprește dacă, după efectuarea următorului pas, noua matrice redusă este formată dintr-un zer sau dacă toate rândurile sunt epuizate. Rețineți că concluzia privind incompatibilitatea sistemului ar fi putut opri procesul chiar mai devreme.
Dacă nu am reduce matricea, am ajunge în cele din urmă la o matrice a formei
Mai mult, așa-numita mișcare inversă a metodei Gauss este efectuată. Din matrice vom construi un sistem de ecuații. În partea stângă, lăsăm necunoscutele cu numere corespunzătoare primelor elemente non-zero din fiecare rând, adică. Rețineți că. Transferăm restul necunoscut în partea dreaptă. Presupunând că necunoscutele din partea dreaptă sunt niște cantități fixe, este ușor să exprimi prin ele necunoscutele din stânga.
Acum, da dreptul de valori arbitrare anonime și calcularea valorilor din partea stângă a variabilelor, vom găsi soluții diferite ale sistemului original Ax = b. Pentru a scrie soluția generală, aveți nevoie necunoscut de pe partea dreaptă indică, în orice ordine litere. inclusiv cele necunoscute care nu sunt scrise în mod explicit pe partea dreaptă, din cauza coeficienților zero, iar apoi coloana de necunoscute pot fi scrise ca o coloană, în cazul în care fiecare element este o combinație liniară de variabile aleatoare (în special, doar o valoare arbitrară). Această intrare este soluția generală a sistemului.
Dacă sistemul a fost omogen, obținem o soluție generală a sistemului omogen. Coeficienții la. luate în fiecare element al coloanei soluției generale, vor forma prima soluție din sistemul fundamental de soluții, coeficienții pentru - a doua soluție, etc.
Metoda 2: Un sistem fundamental de soluții ale unui sistem omogen poate fi obținut și într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, o variabilă transferată în partea dreaptă trebuie să aibă o valoare de 1, iar restul trebuie să fie atribuite zerouri. Calculând valorile variabilelor din partea stângă, obținem o soluție din sistemul fundamental. Dacă atribuim o altă variabilă la dreapta valorii 1, iar restul la zero, obținem a doua soluție din sistemul fundamental, etc.
Definiție: se spune că un sistem este comun dacă are cel puțin o soluție și este incompatibil - altfel, adică atunci când sistemul nu are soluții. Întrebarea dacă sistemul are o soluție sau nu este legată nu numai de raportul dintre numărul de ecuații și numărul de necunoscute. De exemplu, un sistem de trei ecuații cu două necunoscute
are o soluție. și are chiar infinit mai multe soluții și un sistem de două ecuații cu trei necunoscute
nu are soluții, adică este incompatibilă.
Definiție: O matrice extinsă a unui sistem de ecuații liniare este numită matrice. care diferă de matricea sistemului prin prezența unei coloane suplimentare de termeni liberi:
Corolar: rangul matricei extinse este fie egal cu rangul matricei sistemului A, fie mai mare decât unul câte unul.
Dovada: Deoarece orice sistem de coloane independent independent de A este un sistem liniar independent de coloane ale matricei. apoi prin propoziția 14.26 (rangul matricei este egal cu numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent).
Lasă-l să fie. Să presupunem asta. . Apoi, în matrice există un sistem liniar independent de coloane r + k. Printre aceste coloane pot fi doar una care nu aparține matricei A. Apoi, restul subsistemului r + k-1 coloane aparținând A. matrice trebuie să fie liniar independente. În consecință ,. Am obținut o contradicție. Presupunerea că k> 1 este falsă.
Sisteme pătrată cu matrice nondegenerată.
Sistemul este numit pătrat. dacă numărul m al ecuațiilor sale este egal cu numărul n de necunoscuți, adică atunci când matricea lui A este o matrice pătrată.
Soluția SLAU: Lăsați-o să fie dată SLAU
Acest sistem este întotdeauna consecvent deoarece are soluția trivială x1 = ... = xn = 0
Pentru existența unor soluții non-triviale este necesar și suficient
Condițiile r = r (A) Th Setul de soluții ale SLAU formează un spațiu liniar de dimensiune (n-r). Aceasta înseamnă că produsul soluției sale cu un număr, precum și suma și combinația liniară a unui număr finit de soluții ale sale sunt soluții ale acestui sistem. Spațiul liniar al soluțiilor oricărui SLAE este un subspațiu al lui Rn. Orice set de soluții (n-r) liniar independente ale SLAE (fiind o bază în spațiul soluției) se numește un set fundamental de soluții (FSS). Fie x1, ..., xr fi necunoscute de bază, xr + 1, ..., xn sunt necunoscute gratuite. Vom da variabile variabile după cum urmează: După determinarea valorilor variabilelor de bază corespunzătoare fiecărui set de valori ale variabilelor libere, obținem soluții: Sistemul de soluții al unui sistem de ecuații construit în acest fel este numit setul fundamental de soluții fundamentale. Teorema. Setul tuturor soluțiilor din sistemul omogen de ecuații Formează un spațiu liniar S (spațiul soluției) care este un subspațiu al Rn (n este numărul de necunoscute) și dims = k = n-r, unde r este rangul sistemului. O bază în spațiul soluțiilor se numește un sistem fundamental de soluții, iar soluția generală are forma:
Trimiteți-le prietenilor: