Ne amintim proprietatea 6 din proprietățile elementare ale determinantului. valoarea determinantului nu se va schimba dacă adăugați la oricare dintre liniile sale orice alt șir multiplicat cu o constantă arbitrară. Acest fapt poate fi folosit pentru a "face" în determinant mai multe elemente egale cu zero, deoarece Termenii care conțin aceste elemente se renunță la extinderea completă a determinantului. O altă proprietate elementară, proprietatea 2. afirmă că permutarea rândurilor va schimba semnul determinantului, dar nu-și va schimba valoarea absolută. Folosind aceste două transformări, putem stabili obiectivul de a aduce determinantul într-o formă triunghiulară, adică la minte
Apoi, pe baza corolarului la teorema lui Laplace. Valoarea determinantului inițial, în interiorul unui semn, coincide cu produsul elementelor diagonale:
Formalizarea reducerii determinantului la o formă triunghiulară este posibilă cu ajutorul metodei Gauss utilizate în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Astfel, prima etapă a transformării determinante
va consta în "zeroarea" elementelor din prima coloană: a doua linie scade prima, înmulțită cu. din a treia linie - prima, înmulțită de etc. Toate aceste operațiuni nu modifică valoarea determinantului, ci îl transformă în formă
(Subiect). Acum putem extinde prima coloană și putem reduce problema la calculul determinantului ordinii.
Soluția. Se scade primul rând, înmulțit cu numerele corespunzătoare, din rândurile rămase, obținându-se aspectul de zerouri din prima coloană:
Luăm multiplicatorul comun al elementelor din ultima linie:
Deoarece elementul din al doilea rând și al doilea coloană este zero, vom schimba a doua și a cincea rânduri, iar semnul determinantului se va schimba:
Acum, utilizând a doua linie, vom zero elementele celei de-a doua coloane:
Pentru a evita apariția elementelor fracționare, schimbăm linia a treia și a patra, determinantul va schimba din nou semnul:
Un exemplu. Este egalitatea adevărată?
Soluția. Calculul real al unui astfel de determinant - indiferent de metoda pe care o folosim - este o sarcină destul de laborioasă. Cu toate acestea, întrebarea nu se referă la sensul real. ci despre egalitatea sa la zero. Această circumstanță poate simplifica calculele. Noi denotăm valoarea necunoscută a determinantului; în mod evident acest număr este un număr întreg. În cazul în care. atunci restul său, atunci când se împarte cu orice număr, trebuie să fie, de asemenea, zero. Dacă este îndeplinită cel puțin o condiție. apoi și. Calculul factorului determinant se reduce de fapt la multiplicarea elementelor determinante. Dacă stabilim sarcina de a determina restul de a diviza această expresie prin. atunci are sens să "scurtezi" imediat fiecare element al determinantului la restul lui de a se împărți prin.
Mai întâi. și anume din fiecare element al determinantului lăsăm doar ultima cifră:
Astfel, răspunsul obținut este necesar, dar nu suficient, pentru ca determinantul să fie egal cu zero. Să facem încă un control: să luăm.
Răspuns. Egalitatea este greșită.
Este clar că dacă determinantul era zero, atunci fiecare modulo de calcul numai "ar crește fiabilitatea" acestui eveniment.
Este posibil să se determine adevărata valoare a determinantului pe baza unei serii de calcule modulare?
Și voi stoca determinanții întregi găsiți pe drumul meu ☞ AICI.
Trimiteți-le prietenilor: