Concepte de bază ale teoriei
- probabilitate
- Spațiul de probabilitate
- Variabila aleatorie
- Teorema locală Moivre-Laplace
- Funcția de distribuție
- Asteptarile matematice
- Dispersia unei variabile aleatorii
- independență
- Probabilitatea condiționată
- Legea numărului mare
- Teorema limită centrală
Principalele teze ale teoriei ........................... .. ........................ 3
Teoria probabilității a apărut la mijlocul secolului al XVII-lea. în legătură cu sarcinile de calculare a cotei de câștigare a jucătorilor. Dicer Pasionat francez de Mere, încercând să se îmbogățească prin inventarea unor noi reguli ale jocului. El a oferit pentru a arunca zarurile de patru ori și pariu, în același timp, cel puțin o dată laminate o perioadă de șase (6 puncte). Pentru o mai mare siguranță pentru a câștiga de Mere a apelat la prietenul său, matematicianul francez Pascal, cu o cerere pentru a calcula probabilitatea de a câștiga în acest joc. Dăm raționamentul lui Pascal. O matriță este un cub regulat, cele șase fețe ale căror cifre 1, 2, 3, 4, 5 și 6 (număr de puncte). Când a aruncat oasele „la întâmplare“ pierderea unui număr de puncte este un eveniment aleator; aceasta depinde de multe efecte neinregistrate: poziția inițială și a vitezei inițiale a zonelor osoase diferite, circulația aerului în calea ei sau că rugozitatea la locul de toamna care apar la impactul cu suprafața forței elastice, etc. Deoarece aceste efecte sunt haotice, .. apoi, prin simetrie nu există nici un motiv pentru a da preferință la o pierdere de puncte în fața celuilalt (cu excepția cazului, desigur, nici o neregulă în os sau unele aruncător de dexteritate excepțională).
Prin urmare, există șase cazuri, se exclud reciproc în mod egal posibile atunci când aruncarea zaruri, iar probabilitatea unui anumit număr de puncte ar trebui să fie luate egal cu 1/6 (sau 100/6%). pierdere anumit număr de puncte - - Când dublu zaruri aruncare payoff aruncare va avea nici un efect asupra rezultatului celui de al doilea exprimate, prin urmare, toate cazurile în mod egal posibile va fi de 6 · 6 = 36. Din aceste 36 de cazuri, 11 în mod egal șase cazuri apar cel puțin o dată și 5 · 5 = 25 cazuri cele șase nu vor cădea o singură dată.
Șansele de apariția a șase cel puțin o dată va fi egală cu 11 din 36, cu alte cuvinte, probabilitatea unui eveniment A, care constă în faptul că vor exista cel puțin o dată la fiecare șase, ravna11 / 100 pentru un dublu zaruri aruncare. t. e. numărul de cazuri este egal cu raportul favorabil evenimentului Un număr de egal de toate cazurile. Probabilitatea ca un șase sau apare o dată, adică. E. Probabilitatea evenimentului, numit evenimentul opus A, ravna25 / 36. Când triplu aruncarea număr zaruri de egal toate cazurile 36 · 6 = 63, 63 la patru ori · 6 = 64. În triplu aruncări numărul zaruri de cazuri în care șase audio apare o dată, este de 25 = 5 · 53, 53 · 5 quadruplicat = 54. Prin urmare, probabilitatea evenimentului care la patru ori mai mare exprimate au niciodată laminate un șase, egală, și probabilitatea evenimentului opus, adică. e. probabilitatea de șase cel puțin o dată, și probabilitatea de a câștiga de Mere, egal.
Astfel, de Mere avea o șansă mai bună de a câștiga decât de a pierde.
Rațiunea lui Pascal și toate calculele sale se bazează pe definirea clasică a conceptului de probabilitate ca fiind raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul tuturor cazurilor la fel de posibile.
Este important de observat că calculele făcute mai sus și chiar conceptul de probabilitate ca o caracteristică numerică a unui eveniment aleatoriu au fost legate de fenomenele de masă. Declarația potrivit căreia probabilitatea de șase căderi atunci când se dasează un zar este de 1/6 are următoarea semnificație obiectivă: cu un număr mare de aruncări, proporția numărului de exoduri ale celor șase este în medie 16; Cu toate acestea, cu 600 de aruncări ale celor șase, 93, 98 sau 105, etc., cu un număr mare de serii de 600 de aruncări, numărul mediu de evenimente ale celor șase din seria de aruncări de 600 va fi foarte aproape de 100.
Raportul dintre numărul de apariții ale unui eveniment și numărul de încercări se numește frecvența evenimentului. Pentru fenomenele de masă omogene, frecvențele evenimentelor se comportă stabil, adică nu oscilează în jurul valorilor medii, care sunt luate ca probabilități ale acestor evenimente (definirea statistică a conceptului de probabilitate).
În secolele XVII-XVIII. Teoria probabilităților a evoluat în mod semnificativ, deoarece domeniul său de aplicare se datorează nivelului scăzut al științei naturale a fost limitat la o serie mică de probleme (asigurări, jocuri de noroc, demografie). În secolul al XIX-lea. și până în prezent, datorită cerințelor de practică, teoria probabilității în mod constant și evoluează rapid, găsirea de aplicare într-un tot mai diverse domenii ale științei, tehnologiei, economiei (teoria erorii observațional, trăgând teoria, statistici, fizica moleculara si nucleara, chimie, meteorologie, întrebări planificare, control statistic în producție etc.)
Teoria probabilităților este o ramură a matematicii care studiază tiparele evenimentelor de masă aleatorii de frecvență stabilă.
Poziția de bază a teoriei
natura în special în mod clar probabilist studiilor statistice apare în metoda de prelevare a probelor, deoarece orice concluzie formulată pe baza rezultatelor de eșantionare estimate cu o anumită probabilitate.
Odată cu dezvoltarea pieței, probabilitatea și statisticile se contopesc treptat, în special în gestionarea riscurilor, a stocurilor de mărfuri, a portofoliului de valori mobiliare etc. În străinătate, teoria probabilităților și statisticile matematice sunt utilizate foarte larg. În țara noastră, este încă utilizat pe scară largă în managementul calității produselor, astfel încât răspândirea și introducerea metodelor de teorie a probabilității în practică este o sarcină reală.
Așa cum am menționat deja, conceptul de probabilitate a evenimentului este determinat pentru fenomenele de masă sau, mai precis, pentru operațiile de masă omogene. O operație omogenă în masă constă într-o repetare a operațiunilor unice similare sau, după cum se spune, a testelor. Fiecare test separat constă în crearea unui anumit set de condiții care sunt esențiale pentru o operație de masă dată. În principiu, ar trebui să fie posibilă reproducerea acestui set de condiții de nenumărate ori.
Example1. Când se aruncă cu zaruri la întâmplare, singura condiție este aceea că osul este aruncat pe masă și nu sunt luate în considerare toate celelalte circumstanțe (viteza inițială, presiunea aerului și temperatura, culoarea tabelului etc.).
Exemplul 2. Shooterul declanșează în mod repetat la o anumită țintă dintr-o anumită distanță de la poziția în picioare; fiecare lovitură este un test într-o operațiune de fotografiere în masă în condiții date. Dacă shooter-ul este lăsat să schimbe pozițiile la diferite fotografii ("în picioare", "culcat", "din genunchi"), atunci condițiile anterioare se schimbă semnificativ și ar trebui să vorbim despre operația de fotografiere în masă dintr-o anumită distanță.
Rezultatele posibile ale unei singure operații, sau testele S, se numesc evenimente aleatorii. Un eveniment întâmplător este un eveniment care poate apărea sau poate să nu se întâmple atunci când se testează S. În loc de a se întâmpla, ei spun, de asemenea, că "urcă", "apare", "are loc".
Astfel, atunci când se elimină un zar, evenimentele aleatoare sunt: scăderea dintr-un anumit număr de puncte, scăderea unui număr impar de puncte, scăderea unui număr de puncte care nu depășește trei, etc.
Când ardere eveniment este lovit în mod aleatoriu țintă (ca trăgătorul poate lovi ținta, și dor), vizavi de un eveniment aleator este un dor. Acest exemplu arată în mod clar că noțiunea de evenimente accidentale în teoria probabilităților nu trebuie înțeleasă în sensul de zi cu zi, „este pura coincidenta“, deoarece pentru o săgeată bună lovind ținta este mai mult regula, mai degrabă decât un accident, înțeleasă în sensul obișnuit al cuvântului.
Să presupunem că pentru unele număr n studii evenimentul A m ori, de exemplu, m rezultatele operațiune unică au fost „de succes“, în sensul că suntem interesați în A realizat evenimentul, și n-m rezultatele au fost „pretenții“ a avut loc - .. Eveniment A nu a avut loc.
Probabilitatea unui eveniment A, sau probabilitatea unui rezultat „bun“ operațiune unitate se numește valoarea medie a frecvenței relative, adică. E. Valoarea raportului de „succes“ la numărul de rezultate ale tuturor operațiunilor unitare efectuate (test) medie.
Este de la sine înțeles că, dacă este probabilitatea unui eveniment. apoi pentru n procese, evenimentul A poate apărea mai mult de m ori și mai puțin de m de ori; apare numai în medie m ori, iar în cele mai multe serii de n procese, numărul de evenimente ale evenimentului A va fi aproape de m, mai ales dacă n este un număr mare.
Astfel, probabilitatea P (A) este un anumit număr constant, cuprins între zero și unul:
Uneori se exprimă în procente: P (A) • 100% reprezintă procentajul mediu din numărul de evenimente ale evenimentului A. Desigur, trebuie să ne amintim că aceasta este o anumită operațiune în masă, adică condițiile S de producție ale testului sunt certe; dacă acestea sunt substanțial schimbate, atunci probabilitatea evenimentului A se poate modifica: aceasta este probabilitatea evenimentului A într-o altă operațiune de masă, cu alte condiții de testare. În viitor, vom presupune fără să spunem acest lucru de fiecare dată când vorbim de o anumită operațiune în masă; Dacă condițiile în care se efectuează testele se modifică, atunci acest lucru va fi menționat în mod special.
Două evenimente A și B se consideră a fi echivalente dacă, la fiecare probă, fie vin, fie ambele nu vin.
În acest caz, scrieți
și nu distingeți între aceste evenimente. Probabilitățile evenimentelor echivalente A = B sunt în mod evident aceleași:
Declarația converse este, desigur, incorectă: din faptul că P (A) = P (B), nu rezultă că A = B.
Evenimentul care apare în mod necesar la fiecare test este numit autentic.
Suntem de acord să o menționăm prin litera D.
.. Pentru un anumit eveniment numărul atacurilor sale, m este testul de n, astfel încât frecvența relativă este întotdeauna egală cu unu, adică, probabilitatea ca un anumit eveniment ar trebui să fie luată egală cu unitatea:
Un eveniment care, evident, nu se poate întâmpla este numit imposibil.
Suntem de acord să o menționăm cu litera H.
.. Pentru imposibil eveniment m = 0, și deci frecvența relativă este întotdeauna egală cu zero, adică, probabilitatea evenimentului imposibil să fie zero:
Cu cât este mai probabilitatea unui eveniment, cu atât este mai frecvent și viceversa, cu atât mai puțin probabilitatea unui eveniment, cu atât mai puține se întâmplă. Atunci când probabilitatea unui eveniment este apropiată de una sau egală cu una, apare aproape în toate testele. Despre un astfel de eveniment spun că este practic fiabil, adică că cineva poate conta cu siguranță la ofensiva sa.
În schimb, atunci când probabilitatea este zero sau foarte mică, atunci evenimentul apare extrem de rar; despre un astfel de eveniment spun că este aproape imposibil.
Cât de mică ar trebui să fie probabilitatea unui eveniment, astfel încât este practic imposibil să se considere imposibil? Un răspuns general nu poate fi dat aici, deoarece totul depinde de importanța acestui eveniment.
De exemplu, dacă, de exemplu, probabilitatea ca becul să fie deteriorat este de 0,01, atunci acesta poate fi reconciliat. Cu toate acestea, în cazul în care 0.01 este probabilitatea ca banca păstrează format o otravă Botulin puternică, că acest lucru nu poate fi reconciliate, și din moment ce aproximativ un caz dintr-o sută va fi otrăvirea oamenilor și viața umană va fi amenințată.
- Distribuția probabilităților etc.
Evenimente - se spune că un set arbitrar al unui set de toate posibilele rezultate este:
Un eveniment este cunoscut ca sigur, care se va întâmpla cu siguranță în anumite condiții.
Imposibil este un eveniment care nu se va întâmpla dacă sunt îndeplinite anumite condiții.
Evenimentele accidentale sunt numite evenimente care pot apărea sau nu se produc în anumite condiții.
Evenimentele sunt numite singurele posibile. dacă debutul unuia dintre ele este un eveniment fiabil.
Evenimentele sunt numite la fel de posibile. dacă niciuna dintre ele nu este mai posibilă decât altele.
Evenimentele sunt numite incompatibile. Dacă apariția uneia dintre ele exclude posibilitatea apariției unui altul în același proces.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: