Legătura dintre monotonicitatea unei funcții și derivatul ei

2.3. CERCETAREA FUNCȚIEI DERIVATIVE

Teorema 2.9. Să presupunem că funcția f (x) este diferențiată pe un non-

care este decalajul. Apoi, pentru ca funcția f (x)







(în scădere) în acest interval, este necesar și suficient ca, în fiecare punct al acestui interval, derivatul să fie pozitiv (negativ).

Prin urmare, pentru a funcționa este nondecreasing (nonincreasing) la un anumit interval, este necesar și suficient ca la fiecare punct al intervalului a fost un derivat non-negativ (non-pozitiv).

Exemplul 2.3.1. Pentru a investiga funcția f (x) = x 2 - 6 x + 5 prin monotonie.

Soluția. Să găsim derivatul funcției f (x). f '(x) = (x 2 - 6 x + 5)' = 2 x - 6.

Echizăm derivatul la zero și rezolvăm ecuația rezultantă

Împărțim domeniul definiției funcției (la punctul x = 3) (în acest exemplu, este setul tuturor numerelor reale) pe inter-

Calculând valoarea derivatului la unul dintre punctele interioare ale fiecărui interval, definim semnul derivatului pentru fiecare interval. De exemplu,

f '(0) = 2 0 - 6 = - 6 <0. f ′ ( 5 ) = 2 5 − 6 = 4> 0.

În conformitate cu teorema 2.3.1. pe intervalul (-∞; 3)

scăderi; AREA pe intervalul (3; + ∞) funcția crește.

Exemplul 2.3.2. Investigați monotonicitatea funcției







Echizăm derivatul la zero și rezolvăm ecuația rezultantă

x 2 - 8 x + 15 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele x 1 = 3 și x 2 = 5. Împărțim punctele x 1 = 3 și x 2 = 5 în domeniul de definiție

(în acest exemplu este setul tuturor numerelor reale) în intervale (Fig 2.3.2).

Calculând valorile derivate la punctele interioare ale fiecărui interval, definim semnul derivatului pentru fiecare interval.

f '(0) = 0 2 - 8 0 + 15 = 15> 0. f' (4) = 4 2 - 8 4 + 15 = - 1 <0.

f '(6) = 6 2 - 8 6 + 15 = 3> 0.

Prin urmare, prin Teorema 2.3.1, funcția crește pe set (-∞; 3) U (5; + ∞); funcția scade pe set

Extreme ale funcției. Punctul x 0 este numit un punct-

(minim) funcției f (x). dacă într-

(adică, pe intervalul (x-ε .x + ε), unde ε> 0) este cunoscut

Funcția f (x 0) în acest punct este cea mai mare

PWM). Punctele de maximă și minimă locală ale unei funcții sunt numite -

puncte extremum.

Teorema 2.10. (condiția necesară pentru un extremum). Fie funcția f (x) continuă în unele cartiere ale punctului x 0. Pentru

a faptului că la punctul x 0 funcția f (x) are un extremum local

(maxim sau minim), este necesar ca derivatul funcției în acest punct să fie zero.

Punctul în care derivatul funcției este zero (sau nu există) se numește punctul critic al funcției. La un punct critic, funcția poate avea un maxim, poate avea un minim, dar nu poate avea nici unul, adică în acest moment extrema nu poate exista. Pentru a investiga natura punctului critic, sunt folosite suficiente condiții pentru extremum.

TEOREM 2.11. (prima condiție suficientă pentru un extremum). Fie x 0 un punct critic al funcției f (x). Apoi sunt trei posibile

1) Dacă într-o anumită vecinătate a punctului x 0 la stânga derivatului f '(x) este pozitiv, iar în dreapta - negativ, atunci la punctul x 0 funcția are un maxim.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: