Să verificăm corectitudinea înregistrării legii distribuției, pentru care luăm în considerare suma tuturor probabilităților din al doilea rând al tabelului. Rețineți că această linie conține elemente ale descompunerii binomului Newton:
Asteptarile matematice si varianta variabilei aleatoare X. distribuite conform legii binomiale sunt, respectiv,:. .
Legea distribuției Poisson
Definiția. Variabila aleatoare discretă X are legea distribuției Poisson cu parametrul. care este marcat simbolic ca. dacă probabilitatea ca aceasta să aibă valori de 0,1,2. m, respectiv, sunt:
Construim seria de distribuție:
Să verificăm corectitudinea înregistrării legii distribuției, pentru care luăm în considerare suma tuturor probabilităților din al doilea rând al tabelului.
Rețineți că expresia reprezintă extinderea unei serii de funcții pentru. și anume .
Asteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X. distribuite conform legii lui Poisson sunt, respectiv, M (X) = # 955; D (X) = # 955; Aceasta este o caracteristică caracteristică a distribuției Poisson.
Definiția. Variabila aleatoare discrete X are o distribuție geometrică. dacă probabilitatea de a lua valoarea de 1,2,3. (un set de valori numărare) este, respectiv,:.
Construim seria de distribuție:
Să verificăm corectitudinea înregistrării legii distribuției, pentru care luăm în considerare suma tuturor probabilităților din al doilea rând al tabelului.
Rețineți că expresia este suma termenilor progresiei geometrice (deci numele distribuției geometrice) cu primul termen egal cu unitatea și numitorul q. Folosind formula binecunoscută pentru suma unui număr infinit de termeni ai progresiei geometrice, obținem :.
Asteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X. distribuite conform unei legi geometrice sunt, respectiv:. .
Distribuția geometrică este strâns legată de schema de testare Bernoulli și, prin urmare, de distribuția binomială. Diferența constă în faptul că variabila aleatorie binomică determină probabilitatea m a succeselor în studiile n, iar probabilitatea geometrică este probabilitatea m al studiilor înainte de primul succes (inclusiv primul succes).
Legea distribuției uniforme
Definiția. Distribuția probabilității unei variabile aleatorii continue X pe intervalul [a, b] se spune a fi uniformă. dacă densitatea de probabilitate f (x) este constantă în acest interval și este zero în afara ei, adică,
f (x) = C = const. dacă x Î [a, b],
f (x) = 0 dacă x Ï [a, b].
Densitatea probabilității are următoarea proprietate :. Înlocuindu-ne, obținem:
Funcția de distribuție F (X) poate fi găsită prin integrarea densității de probabilitate :.
Legea distribuției exponențială
Definiția. Legea distribuției exponențială pentru o variabilă aleatorie continuă X este dată de densitatea de probabilitate:
deviația standard :.
O caracteristică caracteristică a acestei distribuții este egalitatea așteptărilor matematice față de deviația patratică medie.
Legea normală de distribuție (legea gaussiană)
Definiția. Legea normală de distribuție (legea Gaussiană) a unei variabile aleatorii continue X este dată de densitatea de probabilitate.
a și s sunt parametrii de distribuție, care sunt egali, respectiv, la așteptările matematice și abaterea medie pătrată, adică M (X) = a. dispersie.
Graficul densității distribuției normale este o curbă simetrică față de linia x = a cu ordonanța maximă la punctul x = a. și egal. Această diagramă este denumită curba Gaussiană.
Funcția de distribuție are forma:
Probabilitatea unei variabile aleatorii care intră într-un interval este scrisă ca: unde Φ (χ) este funcția Laplace.
Funcția Laplace Φ (x) este integritatea ca funcție a limitei superioare a integrării:
Proprietățile funcției Laplace:
1) Φ (x) este o funcție ciudată: Φ (-x) = -Φ (x)
Valorile funcției Laplace Φ (x) sunt date în tabele (apendice la sfârșitul manualului). Atunci când se utilizează tabele, este necesar să se țină cont de faptul că atunci când Φ (x) 0,5, cu Φ (x) -0,5 (exact la 0,0001).
Să luăm în considerare două distribuții, cu care ne vom întâlni în viitor, în studiul statisticilor matematice.
Distribuția Pearson # 967; 2 (chi-pătrat)
Definiția. distribuire # 967; 2 (chi pătrat) cu n grade de libertate este distribuția sumei pătratelor de n variabile aleatoare independente, fiecare dintre ele fiind distribuită conform legii normale cu parametrii MX = și DX =. și anume :.
Densitatea distribuției probabilităților # 967; 2 este definit de expresia:
unde: - funcția gamarului Euler (se poate demonstra că pentru valorile pozitive întregi ale argumentului Euler funcția gamma ia o formă mai simplă :).
William Gosset (1876-1937) - statistician englez care a scris sub pseudonimul "Student" (Student).
Definiția. Distribuția (sau distribuția) studentului este distribuția unei variabile aleatorii.
unde: Z este o variabilă aleatoare distribuită conform legii normale cu parametrii MX = și DX =. # 967; 2 este o variabilă aleatoare independentă de Z, având distribuția # 967; 2 cu n grade de libertate.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: