Elementele g 1 și g 2 ale grupului G sunt numite conjugate. dacă există un element h ∈ G. pentru care h g 1 h - 1 = g 2 h ^ = g_>. Conjugarea este o relație de echivalență. și, prin urmare, împarte G în clase de echivalență. acest lucru înseamnă, în special, că fiecare element al grupului aparține exact unei clase de conjugare, iar clasele [g 1]] și [g 2]]> coincid dacă și numai dacă. când g1 și g2 sunt conjugate și nu se intersectează altfel.
- Clasele de conjugare pot fi, de asemenea, definite ca orbite ale acțiunii grupului pe el însuși prin conjugări date de formula (g, M) = g m g - 1> [1].
- Elementul neutru își formează întotdeauna propria clasă [e] =
> - Dacă G este abelian. apoi ∀ g. h ∈ G g h g - 1 = h \ ghg ^ = h>. astfel [g] =
> pentru toate elementele grupului. - Dacă două elemente g 1> și g 1> ale lui G aparțin aceleiași clase de conjugare, atunci ele au aceeași ordine.
- Mai general, orice assertion al grupului teoretic π (g) pe un element g ∈ G este echivalent cu afirmația pentru un element h ∈ [g]. deoarece conjugarea x → x g x - 1> este un automorfism al lui g ∈ G.
- Un element g ∈ G se află în centrul lui Z (G) dacă și numai dacă clasa de conjugare constă dintr-un singur element: [g] =
>. - Mai general: indicele subgrupului Z G (g) (g)> (centralizator specificat element g) egal cu numărul de elemente într-o clasă de conjugare [g] (pentru stabilizarea teoremei orbite [en]).
- Dacă g1 și g2 sunt conjugate, atunci gradul lor g k și g 2 k sunt conjugate.
- Pentru fiecare element al grupului g elemente ∈ G din clasa de conjugare [g] o corespondență unu claselor la unu centralizator Z G (g) (g)>. Într-adevăr, dacă h 1 ∈ [h 2] \ în [h _]>. apoi h 1 = h 2 z = h_z> pentru unele z ∈ Z G (g) (g)>. ceea ce conduce la același element de împerechere: h 1 gh 1 - 1 = h 2 zg (h 2 z) - 1 = h 2 zgz - 1 h 2 - 1 = h 2 zz - 1 gh 2 - 1 = h 2 gh 2 - 1 gh _ ^ = h_zg (h_z) ^ = ^ h_zgz h _ ^ = ^ h_zz gh _ ^ = h_gh _ ^>. În special:
- Dacă G este un grup finit. atunci numărul de elemente din clasa de conjugare [g] este indicele centralizatorului [G. Z G (g)] (g)]>.
- Ordinea fiecărei clase de conjugare este un divizor al ordinii grupului.
- Ordinea grupului este suma indiciilor centralizatorilor pentru reprezentantul ales din fiecare clasă de conjugare: | G | = Σ i [G. Z G (g i)]> [G: Z_ (g _)]>. Având în vedere faptul că centralizatorul grupului Z (G) formează o clasă de conjugare dintr-un singur element (el însuși), această relație, numită ecuația claselor de conjugare [2]. este scrisă după cum urmează: G | = | Z (G) | + Σ i [G. Z G (g i)]> [G: Z_ (g _)]>.
- De exemplu, să presupunem că ni se dă un grup finit p (adică un grup cu ordin p n>, unde p este un număr prime și n> 0). Deoarece ordinea oricărei clase de conjugare trebuie să împartă ordinea grupului, fiecare clasă de conjugare H i are de asemenea o ordine egală cu o putere p k i >> (0
), iar apoi din ecuația claselor de conjugare rezultă că:
- Clasele de conjugare în grupul fundamental al unui spațiu topologic conectat liniar pot fi considerate ca clase de echivalență a buclelor libere [sub] homotopie liberă.
Variații și generalizări
Pentru un subset arbitrar (nu neapărat un subgrup) al lui S ⊆ G, se consideră că un subset T ⊆ G este conjugat cu S. dacă există un element g ∈ G. astfel încât T = g S g - 1>. În acest caz, clasa de conjugare [S] este setul tuturor subseturilor T ⊆ G. astfel încât fiecare T este un conjugat al S.
Teorema este larg aplicată, conform căreia pentru orice submulțime S din G indicele setului normalizatorului său N (S) este egal cu ordinea clasei sale de conjugare [S]:
Subgrupurile pot fi împărțite în clase de conjugare, astfel încât două subgrupe aparțin aceleiași clase dacă și numai dacă sunt conjugate. Congresele subgrup sunt izomorfe. dar subgrupurile isomorfe nu trebuie să fie conjugate. De exemplu, un grup abelian poate conține două subgrupe izomorfe diferite, dar acestea nu vor fi niciodată conjugate.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: