Sa observat deja că nu pot fi adăugate sau multiplicate nici două matrice, deoarece pentru astfel de operațiuni sunt necesare relații cunoscute între numerele de rânduri și coloane. Această neplăcere dispare dacă luăm în considerare numai matrici pătrat de ordin fix n. Orice două astfel de matrice pot fi adăugate sau multiplicate și, ca rezultat, va fi obținută din nou o matrice pătrată din aceeași ordine.
Un rol special în cazul matricelor pătrate este jucat de matricea E, ale cărei elemente diagonale sunt egale cu 1, iar cele rămase până la zero, numite matricea identității. Astfel, matricea E are forma
Printr-un calcul direct se poate demonstra că pentru orice matrice pătrată A,
care exprimă proprietatea de bază a matricei E. De asemenea, observăm că pentru orice vector de coloană a dimensiunii n (vector-rând), egalități
O matrice patratică A se consideră a fi inversibilă dacă există o condiție de matrice X satisfăcătoare
O matrice X care satisface această condiție este numită matrice inversă A sau inversă a matricei A. Rețineți că dacă inversiunea matricei există, atunci ea este unică. Într-adevăr, dacă există oa doua inversiune a lui Y, atunci de la
X = XE = X (AY) = (XA) Y = EY = Y
rezultă că X = Y.
Inversiunea matricei A, dacă există, este desemnată de A-1. Prin urmare, prin definiție
AA = 1 = A-1 A = E.
A n u n tio n a n io n e n g e n d e n d e n d. Denumim T (z) o matrice care se deosebește de identitate numai prin faptul că în loc de 1 la locul i al diagonalei, adică în rândul i și coloana i. ia numărul . Rezultatul produsului matricei Tii () din partea stângă de matricea A este matricea Tii () A, care diferă de matricea A numai de rândul numerotat i. În matricea rezultată, elementele rândului i vor avea forma aij (j = 1. n), adică elementele rândului i al matricei A se înmulțesc cu numărul . Prin urmare, multiplicarea matricei Tii (z) din stânga cu matricea A se va numi "operațiunea de înmulțire a unui rând cu un număr".
EXEMPLU EXEMPLU. lăsa
Fie Ti j () (ij) o matrice care diferă de matricea de identitate de un singur element în rândul i și coloana j. În loc de zero în acest loc în matricea de identitate, există un număr în matricea Ti j (). Matricea Tij () A va diferi de matricea A numai de rândul cu numărul i. Elementele acestei linii vor avea forma ai k + aj k (k = 1.n), adică elemente ale șirului j se adaugă la elementele rândului i. înmulțită cu un număr . Prin urmare, multiplicarea matricei Tij (z) din stânga cu matricea A se va numi "operațiunea adițională a rândurilor".
EXEMPLU EXEMPLU. Luați în considerare înmulțirea matricei A, din exemplul anterior, cu matricea T23 (2).
Să presupunem că matricea A poate fi redusă la o formă diagonală prin intermediul unei secvențe de operații de adăugare de rânduri și înmulțirea unui șir cu un număr. Apoi, aplicând aceiași succesiune de operații pe matricea de identitate, obținem o matrice inversă.
Într-adevăr, aplicarea acestei secvențe de operații la matricea A poate fi scrisă ca produs
folosind proprietățile matricei de identitate pe care o obținem
Ultima egalitate înseamnă asta
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: