Secțiunea conică. sau conicul [1]. - intersecția unui plan cu un con circular. Există trei tipuri principale de secțiuni conice: o elipsă. parabola și hiperbola. în plus, există secțiuni degenerate: un punct. Straight și o pereche de linii drepte. Un cerc poate fi considerat un caz special de elipsă.
Secțiunile conice pot fi obținute ca intersecția unui plan cu un con cu două laturi
Dacă planul trece prin origine. atunci obținem o secțiune degenerată. În cazul nondegenerat,
- Dacă planul secant intersectează toate generatoarele de con în punctele uneia din cavitățile sale, obținem o elipsă,
- Dacă planul secant este paralel cu una dintre planurile tangente ale conului, obținem o parabolă,
- Dacă planul secant intersectează ambele cavități ale conului, obținem o hiperbolă.
Ecuația unui con circular este patratică, deci toate secțiunile conice sunt quadrice. și toate planul Quadric sunt secțiuni conice (deși două linii paralele forma cuadric˘a degenerate, care nu pot fi obținute ca secțiunea conică, dar încă în general, considerate a fi „degenerate conica“).
Secțiunile conice erau cunoscute de matematicienii din Grecia antică.
Cea mai completă compoziție dedicată acestor curbe a fost "secțiunea transversală conică" a lui Apollonius din Perga (aproximativ 200 î.Hr.). Se pare că a fost primul care a descris focurile unei elipse și hiperbola [41]: 41.
Papp Alexandria a descris mai întâi punctul central al parabolei și a derivat o ecuație generală pentru secțiunea conică ca loc de puncte. pentru care raportul distanțelor față de punctul de focalizare și direcția directă este constant [2]: 48.
Elipsa (e = 1/2). parabola (e = 1) și hiperbola (e = 2) cu focalizare fixă F și directrix.
Toate secțiunile conice non-degenerate, cu excepția cercului. pot fi descrise în felul următor:
Alegem un punct F pe plan și o linie dreaptă d și definim un număr real e ≥ 0. Apoi locusul punctelor. pentru care distanța până la punctul F și până la linia d diferă cu un factor de e, este o secțiune conică. Punctul F se numește focalizarea secțiunii conice, iar linia d este direcția directă. numărul e este excentricitatea.
În funcție de excentricitate, veți obține:
Excentricitatea este legată de parametrii conului și de poziția planului de tăiere față de axa conului prin relația următoare [3]: 46.47:
Aici ψ - unghi față de planul de tăiere al axei conului, φ - unghiul dintre generatoarei și axa conului egală cu jumătate din unghiul conului. Din această formulă se vede că conul intersectează planul poate fi preparat cu orice elipsă excentricitate, parabolic, hiperbolă și pot fi obținute numai astfel încât excentricitate nu este mai mult de 1 cos φ >>. Această valoare maximă este atinsă atunci când conul dat este tăiat de un plan paralel cu axa sa.
Elipsa (albastră) ca secțiune conică care separă bilele Dandelen; directoarele elipsei (Df1 și Df2), focarele sale (f1 și f2) și excentricitatea (e)
Unele proprietăți importante ale secțiunilor conice se obțin luându-se în considerare două bile care se referă la secțiunea conică și bilele conic - Dandelen. De exemplu, cu ajutorul lor, se stabilește sensul geometric al focusului, direcției și excentricității secțiunii conice [3]: 46,47.
- Prin intermediul a cinci puncte pe plan, dintre care trei nu se află pe o linie, puteți desena o singură secțiune conică.
- Excentricitatea a două secțiuni conice nondegenerate coincide dacă și numai dacă acestea pot fi traduse una în alta printr-o transformare a similitudinii.
- Transformările afinice păstrează numai semnul excentricității, adică din punct de vedere al geometriei afine, există doar trei secțiuni conice non-degenerate diferite: o elipsă, o parabolă și o hiperbolă.
- Toate secțiunile conice nondegenerate sunt indistinguizabile în geometria proiectivă.
Carteziene coordonate
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 + Bxy + Cy ^ + Dx + Ey + F = 0,>
determină tipul secțiunii conice.
- Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci aceasta este o elipsă. punct sau set gol.
- Dacă discriminantul este zero, atunci acesta este o parabolă. O linie dreaptă sau o pereche de linii drepte paralele.
- Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci acesta este o hiperbola sau o pereche de linii intersectate
Polar coordonate
În coordonate polare (ρ. Θ). cu centrul într-una dintre focare și direcția zero de-a lungul axei principale, secțiunea conică este reprezentată de ecuație
unde e denotă excentricitatea și l este o constantă.
În mecanica clasică, traiectoria mișcării libere a obiectelor sferice într-un vid este supus uneia dintre aplicațiile, legea pătratul - legea gravitației universale. și, prin urmare, este una dintre curba conice - o parabolă, hiperbolă, o elipsă sau o linie dreaptă. orbitelor planetare - elipse traiectorie comete - elipse, hiperbolice [4] sau „aproape parabolica“ [5] (a se vedea, de asemenea, mecanica cereasca.), calea de zbor ghiulea fără impact aer - (. De asemenea, a se vedea balistic) arc de elipsă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: