Operatori liniari cu un spectru simplu.
Studiem operatorii liniari ai unui spațiu vectorial dimensional care are proprietăți distincte.
TEOREM 5.7. Dacă vectorii proprii ai unui operator liniar au valori proprii diferite, atunci sistemul este liniar independent.
Dovada. Să fie un operator liniar al unui spațiu vector și vectorii proprii aparținând diferitelor valori proprii, adică,
Dovada este prin inducție pe numărul m. Deoarece orice vector propriu este diferit de vectorul zero, teorema este adevărată pentru. Presupunând că teorema este adevărată pentru vectori, vom dovedi că este adevărat pentru vectori.
Trebuie să dovedim că pentru oricare dintre ecuații
Deoarece există un operator liniar, rezultă din (3) și (1)
Adăugarea părților corespunzătoare din (3) înmulțită cu () pe ambele părți ale (5), obținem
Prin ipoteza inductivă, sistemul vectorilor proprii este liniar independent. Prin urmare, din (6) avem egalități
Din punctul de vedere al (2), avem
De asemenea, la punctele 3 și 7,
Astfel, se demonstrează că (4) rezultă din (3), adică sistemul este independent de liniaritate.
Determinare. Un operator liniar al unui spațiu vectorial dimensional având proprietăți distincte este numit un operator cu un spectru simplu; setul de toate valorile proprii ale operatorului se numește spectrul operatorului.
Propunerea 5.8. Fie un operator liniar al unui spațiu vectorial dimensional de 4 ° cu un spectru simplu. Să fie vectorii proprii ai operatorului, respectiv. Apoi sistemul este o bază a spațiului.
Dovada. Prin ipoteză, spectrul operatorului constă în scalari distincti de perechi. Prin Teorema 5.7, rezultă că sistemul vectorilor proprii este liniar independent. Prin corolarul 7.3.4, aceasta implică faptul că sistemul este o bază a spațiului.
THEOREM 5.9. Să fie un operator liniar al unui spațiu -dimensional vector cu un spectru simplu - vectorii proprii ai operatorului care aparțin valorilor proprii, respectiv. Apoi matricea diagonală
este matricea operatorului în ceea ce privește baza și pentru orice vector al spațiului
Dovada. Prin ipoteză,
Aceste egalități arată că matricea diagonală (1) este matricea operatorului în raport cu baza. Mai mult, dacă, având în vedere liniaritatea operatorului, avem
Prin (3), aceasta implică egalitatea (2).
Trimiteți-le prietenilor: