Iordania matrice 1

Matricea Jordan este o matrice pătrată pe diagonală pe câmp $\backslash \; Bbb\; K$, cu blocuri de formă

Conform teoremei privind forma normală a Iordaniei, pentru o matrice arbitrară pătrată $A$ peste un câmp algebric închis $\backslash \; Bbb\; K$ (de exemplu, domeniul numerelor complexe $\backslash \; Bbb\; K\; =\; \backslash \; Bbb\; C$) există o matrice nondegenerată pătratică (adică, inversibilă, cu determinant nonzero) $C$ peste $\backslash \; Bbb\; K$, astfel încât

este o matrice din Iordania. În acest caz, $J$ se numește forma Iordaniei (sau forma normală a Iordaniei) a matricei $A$. În acest caz, spunem, de asemenea, că matricea Iordaniei $J$ în teren $\backslash \; Bbb\; K$ este similar (sau conjugat) cu o anumită matrice $A$. În schimb, în ​​virtutea relației echivalente

matrice $A$ similare în domeniu $\backslash \; Bbb\; K$ matrice $J$. Nu este greu de arătat că relația de similitudine introdusă în acest fel este o relație de echivalență și împarte setul tuturor matricelor pătrate dintr-o ordine dată într-un câmp dat în clase de echivalență disjuncte. Forma Iordaniei a matricei nu este determinată în mod unic, ci până la ordinea blocurilor din Iordania. Mai precis, două matrici ale Iordaniei sunt similare $\backslash \; Bbb\; K$ dacă și numai dacă ele sunt compuse din aceleași celule Iordan și diferă una de alta numai în aranjamentul acestor celule pe diagonala principală.

• Numărul celulelor Iordaniei este de ordinul lui $n$ cu o valoare proprie $\backslash \; lambda$ în forma Iordaniei a matricei $A$ poate fi calculat din formula $c\_n\; (\backslash \; lambda)\; =$

\ operatorname (A - \ lambda I) ^ -2 \ operatorname (A - \ lambda I) ^ + \ operatorname (A - \ lambda I)

• În cazul în care câmpul $\backslash \; Bbb\; K$ nu este închis algebric. pentru ca matricea $A$ era similar cu $\backslash \; Bbb\; K$ anumite blocuri din Iordania, este necesar și suficient ca domeniul $\backslash \; Bbb\; K$ conține toate rădăcinile polinomului caracteristic al matricei $A$.
• Într-o matrice hermitiană, toate celulele Iordaniei au dimensiunea 1.
• Este matricea unui operator liniar în baza canonică.
• Formele Iordaniei a două matrici similare coincid până la ordinea celulelor.

Una dintre primele forme de matrice a fost considerată de Iordan.

Variații și generalizări

• Deasupra câmpului numerelor reale, valorile proprii ale matricei (adică rădăcinile polinomului caracteristic) pot fi fie reale, fie complexe, iar valorile proprii complexe, dacă există, sunt prezente în perechi împreună cu conjugatele lor complexe: $\backslash \; lambda\_\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; beta$, unde $\backslash \; alpha$ și $\backslash \; beta$ Sunt numere reale, $\backslash \; beta\; \backslash \; neq\; 0$. Într-un spațiu real, o pereche de valori proprii complexe corespunde unui bloc $J\_>$, și la forma de mai sus a matricelor din Iordania, matrice care conțin și blocuri ale formei $J\_>$, corespunzătoare perechilor de valori proprii complexe: [1] [2]

\ alpha \ beta 1 0 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ - \ beta \ alpha 0 1 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 \ alpha \ beta 1 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 - \ beta \ alpha 0 1 \ ddots 0 0 0 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots \ alpha \ beta 1 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots - \ beta \ alpha 0 1 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 \ alpha \ beta \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 - \ beta \ alpha \\ end \ right).

• O teoremă despre forma normală a Iordaniei este un caz special al teoremei privind structura modulelor generate finit în domenii ale principalelor idealuri. Într-adevăr, clasificarea matricelor corespunde clasificării operatorilor liniari. și spațiile vectoriale deasupra câmpului $\backslash \; Bbb\; K$ cu un operator liniar fix corespund bijectiv cu modulele de pe inelul polinomilor $\backslash \; Bbb\; K\; [x]$ (multiplicarea vectorului prin $x$ este definită ca aplicarea unui operator liniar).

• Pe lângă forma normală a Iordaniei, sunt luate în considerare și alte tipuri de forme matrice normale (de exemplu, forma normală Frobenius). Acestea sunt considerate în special atunci când câmpul de sol nu conține toate rădăcinile polinomului caracteristic al matricei date.

notițe

literatură

Articole similare

• Iordania

• Numărul de condiționare a matricei

• Directorul matricei a recunoscut mai întâi de ce a schimbat podeaua

Trimiteți-le prietenilor: