Lăsați un număr complex să fie dat în formă trigonometrică. Care va fi numărul atunci când este pătrat? Deoarece pentru numere complexe modulele acestor numere se înmulțesc și se adaugă argumentele, atunci modulul pătrat al numărului complex este pătrat, iar argumentul este înmulțit cu 2.
Atunci când numărul complex este ridicat la cea de a-a, puterea modulului acestui număr complex este ridicată la cea de-a treia putere, iar argumentul este înmulțit cu. Deci, formula este valabilă. Această expresie se numește formula Moivre.
8. Extragerea rădăcinii puterii n-a de la numere complexe
Lăsați un număr complex să fie dat în formă trigonometrică. Ce număr când se ridică la cea de-a treia putere ne va da un număr al cărui modul este. și argumentul este. Deoarece construirea unui număr complex în a treia putere a modulului acestui număr complex este ridicată la cea de-a treia putere și argumentul este înmulțit cu. apoi, evident, un număr complex cu un modul egal și un argument egal cu. posedă proprietatea necesară. Să fim atenți la schimbarea unui argument pe valoare egală. După ridicarea la putere, numărul complex modifică valoarea argumentului. și anume pe. Și acest lucru înseamnă că în acest fel numărul complex modificat este și rădăcina gradului i de la numărul dat.
Astfel ajungem la formula. în cazul în care.
Deci, este o valoare care ia diferite valori când. Rețineți că toate aceste valori ale rădăcinii se află pe un cerc de rază prin valori egale ale argumentului.
Exemplul 2. Găsiți modulul și argumentul unui număr complex. în cazul în care. . .
Soluția. Planul de acțiune este după cum urmează. Găsim modulul și argumentul numerelor. . Apoi găsim modulul dorit al numărului, luând în considerare faptul că atunci când crește la putere modulul este ridicat în același grad, înmulțirea numerelor complexe înmulțește modulele lor, împărțind modulele corespunzătoare. După aceea, vom aborda argumentele numerelor. și, ținând seama de regulile corespunzătoare pentru argumente, găsiți argumentul necesar.
Luați în considerare numărul și calculați modulul acestuia. Să găsim tangenta argumentului acestui număr. Deoarece se află în al patrulea trimestru, principala semnificație a argumentului său este.
Considerăm acum numărul și calculăm modulul său. Să găsim tangenta argumentului acestui număr. Deoarece punctul este în trimestrul al treilea, valoarea principală a argumentului său este.
Rețineți că dacă este egal. atunci este. Termenul suplimentar nu modifică tangenta argumentului. Este legat de nevoia de a "intra" în cartierul drept.
Pentru un număr, găsim un modul. Tangenta argumentului este egală aici. Prin urmare, principala valoare a argumentelor sale este.
Rețineți că. și anume modulul și argumentul acestui număr sunt 1 și. Acum găsim modulul necesar unui număr complex și una dintre valorile argumentului. egală. Prin urmare, valoarea principală a argumentului este.
Exemplul 3. Găsiți. Soluția. În figură sunt marcate 3 puncte, care sunt rădăcinile celui de-al treilea grad de la numărul 8. Aceste trei puncte sunt pe un cerc de rază 2 și au argumentele 0 și.
Trimiteți-le prietenilor: