Recent, un școală ma adresat cu o întrebare despre compararea a două numere. A fost necesar să aflăm ce este mai mare: e la puterea lui pi sau pi la puterea e. O combinație frumoasă. Nu-i așa? Un tutore de matematică care a lucrat cu el pe parcursul întregului an nu a reușit să facă față unor astfel de iraționalități și mi-a fost întotdeauna interesant să mă gândesc la acele cifre pe care cineva nu le-a făcut. În cazul în care tutorele poate rezolva sarcini non-standard.
Deci, trebuie sa comparati si cum am meditat?
Este clar că calculul "în frunte" este nerealist, iar calculatorul în astfel de cazuri este interzis. Cred: cel mai probabil este necesar să eliminați indicatorii și bazele gradelor, schimbând comparația cu ceva echivalent în cursul procesului. În caz contrar, în setul de funcții elementare, nu găsim aceeași funcție care va ajuta la compararea numerelor pe baza proprietăților monotonicității sale. Pentru a rupe un cuplu termonuclear irațional este posibil doar în calculul logaritmului. Așa că am înregistrat imediat gradele la gândul în direcția și. Bazele logaritmului nu au fost alese întâmplător. A apărut prezența exponentului.
Problema a fost redusă la compararea numerelor și. Mai mult, am observat că înlocuirea în intrările lor dă numere egale. Cum aș putea să o folosesc? Rețin ideea principală: dacă slujba are o soluție elementară, mai devreme sau mai târziu, va fi necesară introducerea unei funcții monotone. Acest lucru nu este evident, deoarece numărul nu este o valoare într-un punct convenabil pentru comparație. Cu toate acestea, probabilitatea de a obține rezultate egale trebuie probabil utilizată într-un fel. Cum?
Îmi amintesc că dovada oricărei inegalități în matematică este echivalentă cu a dovedi că diferența dintre numerele avute în vedere are un semn clar. Și este ca și cum ai compara diferența la zero. Se obține atunci când numărul din acesta este înlocuit cu un număr. Cum ar trebui să acționeze tutorele de matematică. Desigur, considerăm funcția u și demonstrăm pentru ea monotonicitatea. Dacă funcția este în creștere, atunci din>, apoi> și, prin urmare, obținem acel>.
Rămâne să găsim derivatul și să verificăm că acesta crește cu. Avem. Evident, dacă x> e, atunci>. Prin urmare, crește pe interval. Prin urmare,> și, în consecință, e la puterea pi este mai mare decât pi în puterea e
Eliminând toate argumentele soluția problemei, o scriem compact:
Întregul proces a durat aproximativ 10-15 minute și m-am gândit cel mai mult. Nu pot spune că fiecare tutore din matematică este obligat să fie capabil să sfătuiască un student despre sarcinile unui caracter olimpic, dar ar fi util să știe despre unele metode de gândire.
Cu sinceritate, Kolpakov Alexander Nikolaevich.
matematică tutor în Moscova,
Tutor profesionist în Strogino, m. Schukinskaya.
Este evident că 2,7 ^ 3,14> 3,14 ^ 2,7
) Da, este la fel de evident ca și faptul că ecuația x ^ n + y ^ n = z ^ n cu n> 2 nu are soluții non-triviale în numere întregi (teoremei) :))))
Soluția mea:
1) pi, e,
2) ln (pi)> ln (e),
3) e * ln (pi)> e * ln (e),
4) se scade din 1) - 3):
pi - e * ln (pi)> e - e * ln (e) = 0,
5) pi-e * ln (pi)> 0,
6) pi * e * ln (pi),
7) pi> ln (pi ^ e)
8) ln (e ^ pi)> ln (pi ^ e)
9)
Există o nuanță: este necesar ca prozingerul să aibă o idee despre două lucruri: legătura dintre monotonicitatea unei funcții și cea derivată. În caz contrar, este necesar să se născoci pentru a dovedi că diferența dintre pi și e, înmulțită cu logaritmul natural al pi, mai mare decât diferența dintre E și E, înmulțită cu logaritmul natural al e, care este mai mare decât zero. În sine, fără a atrage noțiunea de monotonie a creșterii funcției indicate, aceasta nu este în niciun fel evidentă.
Multe mulțumiri pentru decizie. Nu-mi spuneți, de la care manual sau compendiu al problemelor de olimpiadă din matematică este preluată această sarcină? Vă mulțumim anticipat.
Nu pot spune cărțile cu care se confruntă această problemă. Și de ce căutați, dacă este deja găsit :))) Întrebarea de a compara aceste numere a fost dată unui tutore familiarizat de matematică de către unul dintre elevii săi. Sarcina mi-a fost transmisă și, după câteva reflecții, i-am formalizat decizia pe site. Mai mult decât orice nu știu.
Vechea problemă. Principalul lucru în el este o comparație a creșterii logaritmului cu o funcție liniară
Dragă Nikolai Sysoilov, acțiunea pe care o luați în 4 din dovada dvs. nu se poate face.
Scurta ilustrare:
10> 7
5> 1
Prin urmare, în conformitate cu logica dvs. 10 - 5> 7 - 1, adică 5> 6
Articole similare
-
Sistemul de învățământ modern ia în considerare interesele copilului - expert, canal TV 360
-
Gradele de artroză a descrierii și tratamentului articulației gleznei
Trimiteți-le prietenilor: