Aplicație de învățare pentru aproximarea funcțiilor numerice

Metoda celor mai mici pătrate

Principalul dezavantaj al polinomilor de interpolare este prezența unui număr mare de puncte extreme și inflexionare, care este determinată prin însumarea polinomilor în ele care își schimbă semnul n ori. În plus, valorile tabulare inițiale ale funcției sunt date în mod incorect din diferite motive, de aceea, pentru a construi polinoame peste 4-5 grade, știind că din studiile teoretice funcția din intervalul tabelului este complet diferită, nu are prea mult sens.







Dacă valorile tabulare ale funcției pot fi interpretate ca o valoare teoretică plus eroarea, atunci specificând un criteriu al apropierii curbei teoretice de un set dat de puncte de tabel, se poate găsi numărul necesar de parametri ai acestei curbe.

Cel mai popular criteriu de proximitate este deviația medie pătrată minimă:

unde este punctul de date experimentale din tabel,

- valoarea dependenței cerute la un punct.

Dacă este de dorit dependența dorită de a fi reprezentată de un polinom de grad. atunci coeficientul din acesta va reprezenta parametri necunoscuți. Înlocuind polinomul dorit în suma pătratelor de abateri, obținem o funcționalitate care depinde de acești parametri:







Pentru ca funcționalitatea să fie minimă, este necesar să se egaleze toate derivatele parțiale ale parametrului funcțional cu parametrii la zero și să se rezolve sistemul în raport cu parametrii necunoscuți. Aceste acțiuni conduc la următorul sistem de ecuații liniare

Aici - un coeficient constant egal cu suma puterilor tuturor valorilor argumentelor. Pentru calculul manual, este convenabil să adăugați mai multe coloane în tabelul original de date. - valorile numerice în partea dreaptă a sistemului de ecuații algebrice liniare, pentru care este de asemenea convenabil să se adauge mai multe coloane în tabela de date originală.

Vom prezenta metoda cu cele mai mici pătrate pentru date cu numărul de puncte din tabel egal cu 4. Gradul maxim al polinomului aproximant pentru un astfel de set este de 3, deoarece trebuie îndeplinită următoarea relație :. Pentru gradul maxim, polinoamele aproximative și interpolate sunt egale.

Lăsați tabelul de date după adăugarea coloanelor suplimentare să arate astfel:

În linia de jos, plasăm totalurile pentru fiecare coloană.

Un sistem de ecuații pentru un polinom de gradul trei:

După ce am rezolvat sistemul, găsim:

Același tabel fără a adăuga nimic ne permite să găsim coeficienții polinomului apropiat de gradul al doilea. Pentru aceasta, este suficient să eliminăm a patra ecuație din sistem pentru polinomul de gradul al treilea și să excludem termenii cu necunoscutul din ecuațiile rămase. Ca rezultat, sistemul de ecuații pentru polinomul gradului doi va fi:

După ce am rezolvat sistemul, găsim:

În mod similar, este posibil să se reducă numărul de ecuații pentru construirea polinoamelor aproximative de grade 1 și zero [13, 30, 32 33, 44].







Trimiteți-le prietenilor: