Găsiți probabilitatea decăderii unui nucleu radioactiv pe un interval de timp t. dacă constanta de dezintegrare este cunoscută # 955;
Soluția. Să presupunem că la momentul t = 0 nucleul există în mod fiabil. Apoi, până la momentul t = t '(Figura 2.1.1), există două posibilități:
1) nucleul nu a suferit decădere radioactivă, iar probabilitatea acestui eveniment este q (t ');
2) nucleul se descompune, iar probabilitatea acestui eveniment este p (t ').
deoarece nu există oa treia opțiune.
Să aflăm care este probabilitatea decăderii nucleare de-a lungul unui interval de timp infinitezimal. dacă nucleul nu sa dezintegrat în timpul anterior t '. Acest eveniment este complex (vezi figura 2.1.1). Probabilitatea ca ambele evenimente să se producă va fi
unde # Dt este probabilitatea de degradare pe intervalul de timp dt. Din punctul 2.1.1 rezultă că dp (t ') = -dq (t'). Făcând această substituție în (2.1.2), obținem o ecuație diferențială pentru găsirea q (t '):
Folosind condiția inițială evidentă q (t = 0) = 1, constatăm că probabilitatea ca nucleul să nu aibă decădere într-o anumită clipă de timp
Astfel, se obține formula (2.4).
Nuclizi 226 Ra, 238 U fiind produsul de descompunere conținute în acesta din urmă într-o cantitate de un atom per 2,80 x 10 6 atomi 238 U. Găsiți timp de înjumătățire de 238 U, se știe că este mult mai lung timp de înjumătățire de 226 Ra, care este egal cu 1620 ani.
Soluția. Pentru soluție folosim formula (2.11.8) față de problema anterioară, deoarece sunt îndeplinite condițiile în care este valabilă:
,
la Se produce Pd 112 Nuclidul activ 112 Ag. Lor de înjumătățire sunt, respectiv, 3,2 și 21 ore. Găsiți raportul dintre activitatea maximă a nuclid 112 Ag la activitatea inițială a medicamentului, dacă inițial numai preparatul nuclid conținea 112 Pd.
Soluția. Vom indica prin indicele "1" cantitățile referitoare la 112 Pd și valorile indexului "2" referitoare la 112 Ag. atunci
; .
.
unde N (tm) este numărul maxim de atomi de nuclid 112 Ag, care se acumulează în timpul tm (2.11.7). Folosind (2.11.6), obținem
.
Calculăm, folosind (2.11.7),
și apoi, folosind formula (2.13.2), se calculează
.
Radionuclida suferă o transformare în lanț
(perioadele de înjumătățire corespunzătoare sunt indicate sub săgeți). Presupunând că la momentul inițial t = 0, preparatul conține doar 118 Cd, găsiți
a) ce parte din nuclee se transformă în nuclee stabile după 60 de minute;
b) de câte ori activitatea medicamentului scade după 60 de minute.
Soluția a). Fie N10 numarul initial de nuclee si N3 (t) numarul de nuclee format 118 Sn in timp t.
La rândul său, numărul de nuclee formate 118 Sn într-un timp t egal cu numărul de sâmburi sparte În 118 în aceeași perioadă de timp:
,
unde N2 (t) și # 955; 2 - dependența numărului de nuclei în timp și constanta lor de dezintegrare. Folosind formula (2.11.6), obținem
.
.
Suma # 951 și calculați-vă (# 951; a = 0.7).
b) Activitatea medicamentului prin timpul t este
.
Suma # 951; b calculați singuri (# 951; b = 1,85).
Se determină masa plumbului, care este format din 1,0 kg 238 U pentru un timp egal cu vârsta rocilor (2,5 · 10 9 ani).
Soluția. 206 este capătul Pb și elementul stabil radioactiv în familie (rând) de uraniu, care este strămoșul 238 U. Deoarece perioada totală jumătate toate link-urile ulterioare ale familiei este mult mai mică decât timpul de înjumătățire a nucleelor 238 U, apoi cu o precizie bună poate presupune că timpul de înjumătățire, care conduce la formarea de nuclee de 206 Pb, este egal cu timpul de înjumătățire de 238 U.
Masa necesară 206 Pb va fi egală cu
unde Np (238 U) este numărul de nuclee decăzute de 238 U în timp t. care, în cele din urmă, sa transformat într-un număr egal de nuclee de 206 Pb. Dacă numărul inițial de nuclee de 238 U a fost
.
atunci numărul de nuclee 238 U degradat într-un timp t este
Înlocuind ultima expresie din (2.15.1), obținem
M (206 Pb) = = = 0,27 kg.
Se formează o radionuclidă de 27 Mg cu o viteză constantă de g = 5,0 × 10 10 nuclei pe secundă. Determinați numărul de nuclee 27 Mg care se vor acumula în preparat după un interval de timp a) depășind semnificativ timpul de înjumătățire; b) egal cu timpul de înjumătățire plasmatică.
Soluția. Luați în considerare o modificare a nucleului dN de 27 Mg pentru o perioadă scurtă de timp dt:
unde gdt este numărul de nuclee produse și # 955; nedistructiv - numărul de descompunere nuclee în timpul .Integriruya dt, această ecuație cu condițiile inițiale N (t = 0) = 0, obținem formula (2.3):
.
a) Trecerea la limita din (2.3) ca t → ∞ duce la obtinerea
Rezultatul obținut determină numărul maxim de nuclei de 27 Mg care pot fi formați în condițiile date.
b) Dacă t = T1 / 2. atunci expresia în paranteze din (2.3) este 1/2 și, ținând cont de rezultatul a), obținem
.
Radionuclida 124 Sb se formează la o viteză constantă de g = 1,0 × 10 9 nuclei pe secundă. Cu un timp de înjumătățire T1 / 2 = 60 de zile, devine un nucleu stabil. Găsiți a) cât timp după declanșarea formării, activitatea de 124 Sb devine A = 3,7 · 10 8 Bq; b) ce masă a nuclidului 124Te se acumulează în preparat după patru luni de la începutul formării sale.
Soluția a). Înmulțind laturile din dreapta și din stânga ale formulei (2.3) cu constanta de dezintegrare # 955; nuclidul 124 Sb, obținem ecuația
.
.
b) Deoarece decăderea fiecărui atom al nucleului 124 Sb este însoțită de formarea atomului 124Te al nucleului stabil, masa acestuia în timpul timpului t după declanșarea formării nucleului Sb 124 este egală cu
unde N (t) este numărul de nuclee ale nucleului 124 Sb care s-a degradat în timpul t. La rândul său
,
dacă folosim (2.17.1) pentru a calcula A (t).
MTe (tb) = mat (124 Te);
.
Radionuclida 138 Xe, care se formează la o viteză constantă de g = 1,0 × 10 9 nuclei pe secundă, suferă o
(jumătățile de viață sunt indicate sub săgeți). Se calculează activitatea totală a medicamentului la 60 de minute după debutul acumulării.
Soluția. Activitatea solicitată
Dependența A1 (t) 138 Activitatea nuclid Xe exprimată prin formula (2.17.1). Pentru găsirea N2 funcția (t) nuclee de acumulare nuclid Cs 138 este necesară pentru a rezolva ecuația
,
unde N1 (t) și N2 (t) sunt acumulările de 138 Xe și 138 Cs și N1 (t) este calculat prin formula (2.3), atunci
.
Soluția acestei ecuații, obținută prin metoda variației constantei (a se vedea Problema 2.11), pentru N2 (t = 0) = 0 are forma
.
Înlocuind această soluție și (2.17.1) în (2.18.1), obținem în cele din urmă
.
Calculați valoarea A independent (A = 1,4 · 10 10 Bq).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: