Colectarea de probleme în algebră

PIATA TREI COLECTII III

§ 53. Investigarea semnelor rădăcinilor unei ecuații patrate în raport cu coeficienții ei

Folosind teorema lui Vieta, este posibil, fără a rezolva ecuația x 2 + px + q = 0. determina ce rădăcinile sale: pozitiv sau negativ. Dar, desigur, trebuie să fim siguri că ecuația în cauză are rădăcini. Dacă nu există rădăcini, atunci este inutil să vorbim despre semnele rădăcinilor. Prin urmare, în această secțiune, vom presupune că a considerat dat ecuația de gradul doi x 2 + px + q = 0 are rădăcini, adică, discriminant sa este non-negativ.







1) Să presupunem că q> 0; atunci ambele rădăcini au aceleași semne, deoarece x1 • x2 = q> 0.
Dacă, în plus, p <0, то x1+ х2 = — р> 0, atunci ambele rădăcini sunt pozitive.
Dacă p> 0, atunci x1 + x2 = - p <0, и тогда оба корня отрицательны.
În cazul în care p = 0, ecuația nu va avea rădăcini reale, deoarece suma a două numere pozitive sau două negative nu poate fi zero.

2) Să presupunem acum că q <0. Тогда один из корней должен быть положительным, а другой — отрицательным, поскольку x1• х2 = q <0.
Dacă p> 0, atunci x1 + x2 = - p <0, и, значит, абсолютная величина отрицательного корня больше положительного корня.
Dacă p <0, то x1+ х2 = — р> 0. Aceasta este posibilă numai dacă rădăcina pozitivă este mai mare decât valoarea absolută a rădăcinii negative.
Pentru p = 0, x1 + x2 = 0, de unde x1 = -x2, în acest caz rădăcinile sunt egale în valoare absolută și opuse în semn.

3) Rămâne să luăm în considerare cazul când q = 0. Atunci x1 • x2 = 0, prin urmare cel puțin una dintre rădăcini este egală cu zero.
Pentru certitudinea let x1 = 0, atunci o altă rădăcină se găsește din condiția x1 + x2 = -p. de unde x2 = -p. Prin urmare, în acest caz, o rădăcină este egală cu zero, iar cealaltă este un număr opus coeficientului p.






Dacă p = 0, atunci ecuația are. două rădăcini egale: x1 = x2 = 0.

Rezultatele studiului semnelor radiculare sunt prezentate în tabel.

Încă o dată, remarcăm că argumentele prezentate aici sunt corecte doar presupunând că ecuația investigată are rădăcini reale, adică că discriminarea ei este non-negativă.

Să luăm în considerare câteva exemple pentru studiul semnelor rădăcinilor ecuațiilor patratice.

1) x 2 - 8x - 9 = 0. Discriminantul acestei ecuații este D = 64 + 36 = 100> 0. Prin urmare, ecuația are două rădăcini reale diferite.
Datorită faptului că x1 • x2 = - 9, rădăcinile trebuie să aibă semne diferite,
și din moment ce x1 + x2 = 8, valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mică decât rădăcina pozitivă.

2) x 2 + 7x + 10 = 0. Discriminantul acestei ecuații este D = 49 - 40 = 9> 0. Prin urmare, ecuația are două rădăcini reale diferite.
Deoarece x1 • x2 = 10> 0, rădăcinile au aceleași semne.
În plus, x1 + x2 = -7, atunci ambele rădăcini sunt negative.

3) x 2 - x + 1 = 0. Pentru ecuația dată

D = (-1) 2 -4 = -3 <0.

În consecință, această ecuație nu are rădăcini reale. Rezultatele obținute mai sus se referă numai la ecuațiile cuadratoare reduse. Dar, studii similare pot fi efectuate pentru orice ecuație patratică ax 2 + bx + c = 0. Pentru a face acest lucru, mai întâi, prin împărțirea cu a, trebuie să reducem această ecuație la ecuația cuadratoare redusă x 2 + b / aX + c / a = 0 și apoi să realizăm argumentele de mai sus pentru această ecuație.

Să presupunem, de exemplu, este necesară investigarea -3x semnelor 2 + rădăcină ecuație 5x - 2 == 0. discriminantul acestei ecuații este D = 25 - 24 = 1> 0 Prin urmare, are două rădăcini reale distincte.

Impartind ambele părți de - 3, obținem: x 2 - 5/3 + 2/3 = 0. Din aceasta se vede că rădăcinile ecuațiilor au același semn, deoarece x1 • x2 = 2/3> 0. Mai departe, x1 + x2 = 5/3> 0. În consecință, ambele rădăcini sunt pozitive.

Fără a rezolva aceste ecuații (nr. 391-400), determinați semnele rădăcinilor lor:

Verificați-vă și, în general, examinați ecuațiile patratice complete și reduse, puteți folosi algoritmii corespunzători din programul EXCEL. Algoritmul poate fi îmbunătățit pentru a afișa rezultatele intermediare ale calculelor.

401. Pentru ce valori a face rădăcinile ecuației

au aceleași semne și sub ce - diferite?

402. Pentru ce valori a face rădăcinile ecuației







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: