Continuăm să studiem semnele de divizibilitate. Următorul pas este un semn de divizibilitate cu 9. Dăm acum formularea sa, să analizeze exemple de aplicare a acesteia pentru a stabili divizibilitatea cu 9 din numărul total și să dea dovada atributului divizibilitatea prin 9. În concluzie, să ne dovedească divizibilitatea de 9 valori de expresie ale unei variabile pentru diferite valori ale unei variabile.
Navigați pe pagină.
Divizibilitatea a 9 exemple
În primul rând, vom formula criteriul de divizibilitate cu 9. Dacă suma cifrelor unui întreg este divizibilă de 9. atunci numărul în sine este divizibil cu 9; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă de 9., atunci acest număr nu este divizibil până la 9.
Din aceste declarații este clar că pentru divizibilitate atribuie 9 trebuie să știe cum să efectueze adăugarea de numere naturale. O altă aplicație pentru divizibilitatea caracteristica 9 trebuie să știe că a lipsit de ambiguitate numere naturale divizibile cu 9 și 9 numai numărul 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 și 8, 9 nu sunt împărțite.
Acum putem examina cele mai simple exemple de aplicare a criteriului de divizibilitate la 9.
Care dintre numerele 621.-32 112. 222.-331 sunt împărțite în 9.
Calculăm sumele cifrelor fiecăruia dintre aceste numere, avem 6 + 2 + 1 = 9. 3 + 2 + 1 + 1 + 2 = 9. 2 + 2 + 2 = 8 și 3 + 3 + 1 = 7. Deoarece 9 este împărțit de 8 și 9 și 7 nu sunt împărțite în semnul divizibilitate 9. 9 sugerează că -32 112 621 și împărțit la 9 și numerele 222 și -331 - nr.
621 și -32.
În cazuri mai complexe, suma cifrelor unui număr întreg poate fi de două cifre, de trei cifre și așa mai departe. număr. De exemplu, suma cifrelor numărului 945 este egal cu 18 și suma numerelor de numărul 999 888 777 666 555 este egal cu 105. Pentru a stabili divizibilitatea de 9, în aceste cazuri, un semn de divizibilitate cu 9 trebuie să fie utilizate de mai multe ori (sau cont mai precis de mai multe ori pentru a calcula suma de cifre ale numerelor rezultate). Luați în considerare acest lucru pentru un exemplu.
Numărul 876,505,998,872 este împărțit la 9.
Noi folosim semnul pentru divizibilității prin 9. Pentru a calcula valoarea unui anumit număr de cifre: 7 + 8 + 6 + 5 + 0 + 5 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 2 = 74. Și dacă 74 este împărțit de 9. Pentru a răspunde la această întrebare, vom calcula suma de cifre ale numărului 74, avem 7 + 4 = 11. și suma cifrelor de la numărul 11 la rândul său este 1 + 1 = 2. Deoarece 2 nu este divizibil cu 9 pe baza divizibilitatea de 9 și 11, numărul nu este divizibil cu 9. prin urmare, nu este divizibil cu 9 și 74 și, prin urmare, numărul inițial.
Rețineți, de asemenea, că pentru a testa capacitatea unui număr dat de a diviza cu 9, puteți împărți în mod direct numărul dat cu 9 (cel mai convenabil este să efectuați divizarea cu o coloană). Destul de des, este nevoie de aproximativ același timp pentru a efectua divizări directe în ceea ce privește aplicarea criteriului de divizibilitate cu 9.
Dovada criteriului de divizibilitate pe 9
Pentru a demonstra testul de divizibilitate la 9, avem nevoie de mai multe rezultate auxiliare. Vom discuta despre ele.
Orice număr natural a poate fi descompus în cifre. atunci regulile de înmulțire a numerelor naturale 10, 100, 1000 ne permite să înregistreze o reprezentare a tip A = un · 10 n + o-1 · 10 n-1 + ... + a2 · 10 februarie · 10 + A1 + A0. unde un. o-1. ..., a0 sunt numerele de la stânga la dreapta în intrarea unui a. De la 10 = 9 + 1. 100 = 99 + 1 = 11,9 + 1. 1 000 = 999 + 1 = 111,9 + 1. ..., atunci reprezentarea numărului a ia forma. După mici transformări, ajungem la egalitatea formei. Suma este suma cifrelor a. Menționați-o pentru scurtcircuit prin litera A. atunci. Această reprezentare a numărului a va fi utilizată pentru a demonstra criteriul de divizibilitate cu 9.
De asemenea, folosim două proprietăți de divizibilitate.- astfel încât întregul a să fie divizibil cu un număr întreg b este necesar și suficient ca modulul a să fie divizibil prin modulul b;
- dacă în egalitate a = s + t toți termenii, cu excepția unuia, sunt împărțiți de un număr întreg b. atunci acest termen este divizat de b.
Acum putem demonstra criteriul de divizibilitate cu 9. Pentru comoditate, rescriim acest criteriu sub forma unei condiții necesare și suficiente pentru divizibilitate cu 9.
Pentru divizibilitatea unui număr întreg pe 9, este necesar și suficient ca suma cifrelor în notația lui a să fie divizibilă de 9.
Pentru a = 0 teorema este evidentă.
Pentru a. modulul numărului a este un număr natural, prin urmare poate fi reprezentat ca sumă. pe care am arătat-o înainte de teorema. Expresia conține factorul 9. iar suma în paranteze este un număr natural pentru orice. o-1. ..., a1. Prin urmare, prin proprietățile divizibilității, această expresie este împărțită la 9.
Noi continuăm să dovedim suficiența. Să demonstrăm că dacă suma cifrelor unui (care este notat cu A) este divizibilă prin 9. atunci numărul a este divizibil până la 9.
Când A este împărțit la 9 și apoi egalitatea respectivei proprietăți divizibilitate secunde înainte ca teorema, rezultă că un modul este împărțit în 9 unde prin numitele prima proprietăți divizibilitate frontală teoremei rezultă că este împărțită 9. suficiență Astfel dovedit.
Trecem la dovada necesității. Să demonstrăm că dacă un număr întreg a este divizibil cu 9. atunci suma cifrelor lui este împărțită la 9.
Dacă a este divizibilă cu 9. atunci modulul lui a este divizibil cu 9 (prin prima proprietate a divizibilității indicată înainte de teorema). Apoi rezultă din egalitate și a doua proprietate divizibilă indicată că A este divizibilă de 9. Aceasta dovedește necesitatea.
Aceasta completează dovada divizibilității 9.
Alte cazuri de divizibilitate până la 9
În această secțiune dorim să atingem exemple de dovadă a divizibilității cu 9. Când numărul este dat ca valoarea expresiei litere pentru unele valori ale variabilei.
Trimiteți-le prietenilor: