Definiție 1. Dacă f polinomul (x) este zero, atunci când substituit în ea în loc de numere necunoscute, care se numește cu rădăcina f polinomului (x) (sau ecuația f (x) = 0).
Numărul 1 este o rădăcină a lui f (x), iar numărul 2 nu este o rădăcină a lui f (x), întrucât f (1) = 1 2 5 + # 8729, March 1 8729 -3 # 1 = 0 și f (2) = 2 5 + 2 # 8729; 2 3 -3 # 8729; 2 = 42 ≠ 0.
Se pare că rădăcinile unui polinom sunt legate de divizori.
Numărul c este o rădăcină a polinomului f (x) dacă și numai dacă f (x) este divizibil cu x-c.
Definiția 2. Dacă c este rădăcina polinomului f (x), atunci f (x) este divizibilă de x-c. Apoi există un număr natural k astfel încât f (x) să fie divizibil prin (x - c) k. dar nu este divizibil prin (x-c) k + 1. Un astfel de număr k este numit multiplicitatea rădăcinii polinomului f (x), iar rădăcina însăși este rădăcina k-fold a acestui polinom. Dacă k = 1, atunci rădăcul c este numit prime.
Pentru a găsi multiplicitatea k a rădăcinii polinomului f (x), aplicăm următoarea teoremă:
Dacă numărul c este o rădăcină k îndoită a polinomului f (x), atunci pentru k> 1 este rădăcina (k-1) -fold a primului derivat al acestui polinom; dacă k = 1, atunci c nu servește ca o rădăcină pentru f '(x).
Corolar. Radioul k-fold al polinomului f (x) pentru prima dată nu servește ca o rădăcină pentru derivatul k.
Exemplul 2. Asigurați-vă că numărul 2 este rădăcina polinomului f (x) = x 4 -4x 3 + 16x-16. Determinați-i multiplicitatea.
Soluția. Numărul 2 este rădăcina f (x), deoarece 2 4 -4 # 8729; 2 3 + 16 # 8729; 2-16 = 0.
f '(x) = 4x3 -12x2 +16, f' (2) = 4 # 8729; 2 3 -12 # 8729; 2 2 + 16 = 0;
f '' (x) = 12x 2 -24x, f '' (2) = 12 # 8729; 2 2 -24 # 8729; 2 = 0;
f '' '(x) = 24x-24, f' '' (2) = 24 # 8729; 2-24 ≠ 0.
Numărul 2 nu este rădăcina lui f '' '(x) pentru prima dată, prin urmare numărul 2 este rădăcina triplă a polinomului f (x).
Fie un polinom f (x) de grad n≥1 cu coeficientul de conducere 1: f (x) = xn + a1 xn -1 + ... + an-1 x + an și # 945; 1. # 945; n - rădăcinile sale. Rădăcinile polinomului și coeficienții acestuia sunt legați de formule, care se numesc formule Vieta:
Formulele Vieta facilitează scrierea unui polinom conform rădăcinilor sale.
Exemplul 3. Găsiți un polinom cu rădăcini simple 2; 3 și o rădăcină dublă de -1.
Soluția. Să găsim coeficienții polinomului:
Polinomul dorit este x 4 -3x 3 -3x 2 -7x + 6.
Definiția 3. Polinomul f (x)ÌP [x] de gradul n este reductibil pe câmpul P dacă poate fi descompus într-un produs de doi factori (X) și (X) de la P [x], ale cărui grade sunt mai mici de n:
f (x)ÎP [x] se spune că este ireductibil asupra câmpului P dacă în oricare dintre factorizările sale de la P [x] unul dintre factori are gradul 0, celălalt este de gradul n.
Următoarele teoreme:
Fiecare polinom de gradul nonzero f (x) din inelul P [x] se împarte într-un produs cu factori ireductibili în factorii P [x] unic până la zero.
De aici rezultă cu ușurință că pentru fiecare polinom f (x)ÎP [x] de grad n, n≥1, există următoarea descompunere în factori ireductibili:
unde sunt polinoame ireductibile în P [x] cu coeficienți de conducere egali cu unul. O astfel de extindere pentru un polinom este unică.
Multiplicatorii ireductibili incluși într-o astfel de descompunere nu trebuie să fie diferiți. Dacă polinom ireductibil apare exact k ori în expansiune (2), este numit un factor k ori f polinomului (x) .Dacă factor P (x) este inclusă în această expansiune doar o singură dată, este numit un prim factor pentru f (x) .
Dacă în expansiune (2) punem aceiași factori împreună, atunci această expansiune poate fi scrisă în următoarea formă:
unde factorii Pi (x), ..., Pr (x) sunt diferiți. Exponenții k1, ..., kr aici sunt egali cu multiplicitățile factorilor corespunzători. Expansiunea (3) poate fi scrisă sub forma:
unde F1 (x) este produsul tuturor factorilor simpli ireductibili, este produsul tuturor factorilor dubli ireductibili și așa mai departe. în expansiune (3). Dacă în extindere (3) nu există factori m-fold, atunci factorul este considerat egal cu unitatea.
Polinoame F1 (x), ..., Fs (x) pentru f polinomul (x) peste câmpuri numerice pot fi găsite prin utilizarea conceptului de derivat, al algoritmului lui Euclid formulat anterior teorema (despre legătura cu derivatul), după cum urmează:
Astfel, putem găsi factori pentru polinomul f (x).
Dacă f polinomul (x) este necesar să se găsească factorii F1 (x), ..., Fs (x) descompunerea acestuia (4), atunci spunem că trebuie să ne separa mai mulți factori săi.
Exemplul 4. Separați factori multipli f (x) = x 5-x 4 -5x 3 + x 2 + 8x + 4.
Soluția. Gasim GCD f (x) si f '(x) = 5x 4 -4x 3 -15x 2 + 2x + 8.
Trimiteți-le prietenilor: