Funcții quadratice afine și quadrice

Fie un spațiu afin, unde este un spațiu liniar pe un câmp.

Definirea unei funcții patrate afine este o mapare. pentru care

există o funcție patratică.

există o funcție liniară. astfel încât egalitatea să fie valabilă pentru orice punct.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate. și sunt coordonatele punctului. și anume coordonatele vectorului în bază. este matricea unei funcții patrate în baza și. Avem

Să trecem la un sistem de coordonate cu un nou centru. și lăsați - coordonatele în sistem. Apoi. și anume . Avem

în cazul în care. . Obținem că funcția pur quadratică nu depinde de alegerea punctului u.

Definiția. Un punct este numit central pentru o functie patrata afinata. dacă pentru orice vector există egalitatea. Centrul unei funcții patrate afine este setul tuturor punctelor sale centrale.

Teorema. Dacă centrul unei funcții patrate afinse pe un spațiu afin -dimensional nu este gol, atunci acesta este un plan de dimensiuni. În cazul în care partea pur patratică este nedegenerată, pentru că există un punct central.

Notă. Să se atribuie o funcție patratică a coordonatelor unui punct. Pentru a găsi centrul trebuie să rezolvați sistemul de ecuații.

Dacă este un punct central, atunci.

Fie u două puncte centrale. Apoi și. Prin urmare, pentru orice vector, egalitatea u. Ajungem la linia care trece prin u. constă din puncte centrale.

Definiția. O funcție afinității patrate este numită centrală. dacă centrul său nu este gol.

Teorema. Pentru fiecare funcție pătratică afin în spațiul afin n-dimensional există un sistem de coordonate canonic. în care

. dacă este central,

. dacă nu centrală. Iată coordonatele punctului. Forma canonică a unei funcții patrate afine nu depinde de alegerea bazei canonice.

Teorema. Pentru fiecare functie patrata afinata intr-un spatiu euclidian -dimensional exista un sistem canonic dreptunghiular de coordonate. în care

. dacă este central,

. dacă nu centrală. Aici 0 $ "> și.

Definiția. Să fie o funcție afirmativ patratică. Un quadric este un set de toate aceste puncte. asta. Quadric este numit central. dacă este dată de o funcție centrală patratică.

Teorema. Pentru fiecare quadric într-un spațiu afinat real-dimensional, există un sistem de coordonate potrivit în care quadricul are o ecuație de unul din următoarele tipuri:

. . . sau. . dacă quadricul este central;

. . . dacă quadricul nu este central.

-- în cazul în care. apoi un elipsoid,

-- în cazul în care. apoi elipsoidul imaginar,

-- dacă "0" și "", atunci hiperboloidele,

-- în cazul în care. apoi buteliile;

-- în cazul în care. apoi conurile,

-- în cazul în care. apoi cilindri conici;

-- în cazul în care. apoi paraboloidele (- eliptice, altfel - hiperbolice),

-- în cazul în care. apoi un cilindru parabolic.

Teorema. Pentru fiecare spațiu quadric într-un spațiu african real-dimensional euclidian există un sistem canonic de coordonate dreptunghiulare în care quadricul este dat de o ecuație de unul din următoarele tipuri:

. . . sau. . dacă quadricul este central;

. . . dacă quadricul nu este central. Aici totul este 0 $ ">.

Articole similare

• În cazul în care în viață se aplică o funcție patratică - prezentarea 95736-26

• Funcția afină - o enciclopedie mare de petrol și gaze, articol, pagina 1

Trimiteți-le prietenilor: