Rădăcina pătrată a variației se numește deviația standard a variabilei aleatoare. O vom marca cu simbolul.
Dacă dispersia este o caracteristică de împrăștiere, atunci așteptarea matematică este o caracteristică a poziției valorilor variabilei aleatorii pe axa numerică. Valorile unei variabile aleatoare sunt grupate în jurul așteptărilor matematice cu o anumită împrăștiere determinată de varianța variabilei aleatoare.
Așteptarea nu este singura caracteristică a poziției unei variabile aleatorii.
Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă (valoarea lui x pentru care densitatea distribuției atinge un maxim).
Mediana unei variabile aleatoare x este valoarea pentru care egalitatea :.
Luați în considerare cum să găsiți așteptările matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare pentru variabilele aleatorii discrete.
Fie x o variabilă aleatoare discrete care ia valori cu probabilități.
Astfel, pentru variabilele aleatoare discrete, așteptarea matematică și variația sunt calculate prin formulele:
Nu este greu să găsim o altă expresie pentru varianță, dacă în definiția sa extindeți parantezele:
Să găsim așteptările matematice și varianța variabilelor aleatorii considerate anterior.
Variabila aleatorie Bernoulli
Distribuție aleatorie distribuită uniform
Variabila aleatorie exponențială
Variabila aleatorie Gaussiană
Aici, primul integru este zero, ca un integral al unei funcții ciudate în limite simetrice. Cel de-al doilea integral este egal cu unitatea prin condiția de a normaliza densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii Gaussian cu parametrii.
Astfel, parametrul de distribuție este așteptarea matematică a unei variabile aleatorii Gauss.
Ultimul integral este preluat de piese, punere
Apoi obțineți :.
Parametrul de distribuție este variația unei variabile aleatorii Gaussian.
Astfel, densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii gaussiene depinde de doi parametri: așteptarea matematică și varianța.
2.5. Funcția caracteristică a unei variabile aleatorii
Definiție: O funcție caracteristică a unei variabile aleatoare x este o funcție complexă.
Aici j este unitatea imaginară.
Din această definiție rezultă că funcția caracteristică este în esență o transformare Fourier a densității de distribuție a unei variabile aleatoare x.
Dacă funcția caracteristică a variabilei aleatoare x este cunoscută. atunci densitatea de distribuție poate fi găsită prin intermediul unei transformări inverse Fourier:
Astfel, funcția caracteristică, ca densitatea de distribuție, determină complet variabila aleatoare și permite identificarea probabilităților oricăror evenimente asociate cu o variabilă aleatoare.
În teoria probabilității se utilizează foarte des termenul "legea distribuției unei variabile aleatorii".
Pentru a atribui legea de distribuție a unei variabile aleatorii este atribuirea funcției sale de distribuție sau a densității de distribuție sau a seriei de distribuție (pentru variabilele aleatorii discrete) sau a funcției caracteristice.
Proprietățile funcției caracteristice rezultă din definiția sa:
Proprietatea 2 ne permite să calculam așteptările matematice și varianța unei variabile aleatorii pur și simplu prin funcția caracteristică, înlocuind integrarea printr-o operație mai simplă - prin diferențiere:
Să găsim funcția caracteristică a variabilei aleatorii Bernoulli, așteptările sale matematice și varianța.
Calculați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatorii binomiale utilizând o serie de distribuții este destul de dificilă. Dar cu ajutorul funcției caracteristice este foarte simplu.
În conformitate cu formula, care se numește binomul lui Newton, obținem :.
Să găsim funcția caracteristică a unei variabile aleatorii uniform distribuite.
Funcția caracteristică a unei variabile aleatorii exponențiale are forma:
Să calculați funcția caracteristică a unei variabile aleatorii Gauss. Metoda de calculare a acesteia va fi utilă în viitor.
Astfel, funcția caracteristică a unei variabile aleatorii Gauss este calculată prin formula:
Pentru a calcula funcția caracteristică, se folosește următoarea relație:
care este valabil pentru orice a.
Să dăm expresia în integral (1) la pătratul total:
Apoi, folosind condiția de normalizare (2), obținem:
Astfel, funcția caracteristică a unei variabile aleatorii Gauss este:
2.6. Transformări funcționale ale variabilelor aleatoare
În aplicațiile de inginerie ale teoriei probabilității, devine adesea necesară determinarea legilor de distribuție a funcțiilor de la variabilele aleatoare. Acest paragraf este dedicat acestei secțiuni.
Să fie o funcție strict monotonă. - domeniul definiției funcției; D - domeniul valorilor sale. În acest caz, există o funcție inversă, pe care o denotăm. Domeniul de definire a funcției inverse este D. și intervalul de valori este Q. Pentru funcțiile directe și inverse, se mențin următoarele relații:
Funcția inversă este, de asemenea, strict monotonă. Mai mult, dacă - crescând în mod monotonic, atunci u este, de asemenea, în creștere monotonică. Dacă scăderea este monotonă, atunci u este în scădere monotonică.
Deci, să fie o funcție în creștere monotonică, o variabilă aleatoare cu o funcție de distribuție și o densitate de distribuție. Să găsim densitatea distribuției unei variabile aleatorii.
Prin definiție, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este egală cu:
Rezolvăm inegalitatea cu privire la o variabilă aleatoare, obținem:
Astfel, se obține funcția de distribuție a variabilei aleatoare. Diferențându-l cu privire la x. obținem densitatea de distribuție:
Acum permiteți să scădeți monotonic. Apoi funcția de distribuție a variabilei aleatoare este egală cu:
Rezolvarea inegalității variabile relativ aleatoare, este necesar să se ia în considerare faptul că, se aplică pe ambele părți ale inegalității în scădere de conversie monoton, semn inegalitatea trebuie să fie schimbat în contrariul:
Astfel, pentru funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, obținem:
Diferentizând această egalitate în raport cu x (în sens generalizat), obținem:
Dacă luăm în considerare faptul că derivatul unei funcții de scădere monotonică este negativ, pentru orice transformare monotonă obținem:
Să presupunem că nu este o funcție monotonică, dar poate fi împărțită în secțiuni strict monotonice prin punctele x1, x2, ..., xn (Figura 13)
Apoi, pe fiecare secțiune, funcția este strict monotonă și, prin urmare, are invers. Denumim funcțiile inverse. Fără pierderea generalității, presupunem că aceasta este o funcție în creștere. Apoi - scădere, - creștere, etc. (vezi Figura 13).
Pentru funcția de distribuție a unei variabile aleatoare obținem:
Evenimentele sumabile ale speciei sunt incompatibile, prin urmare, pe baza axiomului de probabilitate, primim:
Aceste probabilități pot fi calculate în funcție de densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare x:
Diferențierea funcției de distribuție a unei variabile aleatoare obținem densitatea de distribuție:
Având în vedere că derivatul unei funcții descrescătoare monotonice este negativ, obținem în final:
Să analizăm cazuri speciale de transformare a variabilelor aleatoare.
1. Să presupunem că pe o parte a domeniului de definire a unei funcții această funcție este constantă (). Este clar că nu există nicio funcție inversă în această secțiune. apoi:
Introducând funcția Heaviside, această expresie poate fi scrisă sub forma:
După completarea diferențierii generalizate, pentru suma sumă corespunzătoare și a densității distribuției în suma (3), obținem:
2. Să presupunem că pe o parte a monotonicității funcția are o discontinuitate a primului tip la punctul (fig. 14). Pentru certitudine, presupunem că această funcție este în creștere monotonică. Apoi, funcția inversă va avea trei ramuri (Figura 15)
După completarea diferențierii generalizate, pentru suma sumă și densitatea distribuției în suma (1), obținem:
Să considerăm exemple de transformări funcționale ale unei variabile aleatorii.
Transformarea liniară a unei variabile aleatorii.
Fie, unde și nu sunt variabile aleatoare.
În acest caz. Această transformare este monotonă și transformarea inversă are forma:
Astfel, densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii este egală cu:
Așteptarea, variația și funcția caracteristică a unei transformări liniare a unei variabile aleatorii sunt:
Lasă-l să fie. Găsiți densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii
Dacă folosim metoda descrisă mai sus, obținem:
O variabilă aleatoare este supusă unei transformări neliniare a formei :. Găsiți densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii
Transformarea speciei nu este monotonă, dar este posibil să se definească ramuri monotone pe segmente și. Funcțiile inverse corespunzătoare acestor ramuri sunt egale cu:
În conformitate cu expresia (3) pentru densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, obținem:
Același lucru se poate obține dacă folosim tehnica de calcul al funcției de distribuție:
Calculând derivatul generalizat, obținem:
Variabila aleatorie. Găsiți densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii.
Folosim tehnica de calcul al funcției de distribuție. la:
Calculând derivatul, obținem:
Fie o variabilă aleatoare cu o funcție de distribuție. Se obține o valoare aleatorie din utilizarea transformării :. Găsiți densitatea de distribuție a unei variabile aleatorii.
Să fie o funcție de creștere continuă. Apoi, există o funcție inversă în creștere monotonică. Domeniul acestei funcții este [0,1], iar intervalul de valori este axa numerică.
Astfel, densitatea distribuției unei variabile aleatorii este uniformă :.
Fie o variabilă aleatorie uniform distribuită în intervalul [0,1]. Găsiți o astfel de transformare a unei variabile aleatoare pentru a obține o variabilă aleatoare cu o funcție de distribuție dată.
Să fie o funcție arbitrare de creștere monotonică.
Apoi, folosind proprietățile funcției de distribuție a unei variabile aleatoare uniform distribuite, obținem:
Este ușor de observat că rezultatul dorit este obținut dacă îl punem
Astfel, pentru a obține o variabilă aleatorie cu o lege de distribuție dată dintr-o variabilă aleatoare uniform distribuită în intervalul [0,1], trebuie efectuată următoarea transformare:
Această formulă este utilizată pe scară largă în simularea computerizată a variabilelor aleatoare cu o anumită lege de distribuție. De exemplu, pentru a obține o variabilă aleatorie distribuită exponențial cu densitatea de distribuție, este necesară efectuarea următoarei transformări a unei variabile aleatorii distribuite uniform :.
3. Vectori aleatorii
3.1. Vectori și matrice
Ne amintim câteva concepte din algebra liniară.
Definire: Fie A și B două seturi. Prin produsul direct al seturilor A și B se înțelege setul de perechi.
În mod similar, putem defini un produs direct al unui număr finit de seturi.
Pentru elementele produsului, se înregistrează o înregistrare sub formă de secvențe n-membre (n-nok), unde locul k este elementul setului k. Dacă toate seturile produsului direct sunt aceleași, scriu în schimb.
În special, dacă mulțimea A este setul de numere reale R. Aceasta este setul (n-nok) al numerelor reale. Elementele sale sunt numite puncte, iar numerele sunt coordonatele unui punct.
Definitie Un set este numit un spatiu liniar (vector) daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:
1. Dacă (pentru fiecare două elemente x și y numărul lor x + y, aparținând aceluiași set) este definit.
2. Pentru orice număr real, produsul este definit.
3. asociativitatea adăugării;
4.- comutativitatea adăugării;
5. B există un element zero, astfel încât pentru orice.
Elementele spațiului sunt numite vectori, iar elementele spațiului sunt numite scalare.
În cele ce urmează, presupunem că fiecare vector x este scris sub forma unei coloane :.
Introducem operația de transpunere a vectorilor: - coordonatele vectorului sunt scrise într-un rând.
Definirea unui produs scalar al vectorilor într-un spațiu este o funcție care atribuie fiecărei perechi de vectori un număr real. Produsul scalar al vectorilor se calculează după formula :.
Proprietățile unui produs scalar
1. Din definiția unui produs scalar rezultă că. În cazul în care.
2. Pentru oricare două scalare și este adevărat:.
4. - inegalitatea Cauchy-Bunyakovskii.
Să demonstrăm inegalitatea Cauchy-Bunyakovskii.
Din proprietatea 1) rezultă că. Din proprietatea 2) obținem :. Din moment ce această inegalitate este valabilă pentru orice, ne-am stabilit. Substituind această expresie, obținem inegalitatea Cauchy-Bunyakovskii.
Definiți și două spații vectoriale. Un operator liniar este o mapare a formularului, unde. În acest caz, spunem că un operator liniar este dat de o matrice A de mărimea formei :.
Dacă A este matricea originală, atunci transpunerea este o matrice a formei:
Este evident că dacă A acționează de la 6, atunci acționează de la:.
Matricea pătrată, a cărei diagonală principală este o unitate, iar elementele rămase sunt egale cu zero, se numește matricea de identitate :. Aici este simbolul Kronecker.
Fie A un operator liniar de la 0 ,.
Să găsim produsul scalar al vectorilor y și z:
Astfel, se afirmă următoarea relație:
Datorită volumului mare, acest material este plasat pe mai multe pagini:
1 2 3 4 5 6 7
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: