O soluție aproximativă a unei ecuații cu una necunoscută
1. Fie F (x) o funcție care este algebrică sau transcendentală. Găsiți acele valori ale argumentului pentru care. Funcția F (x) trebuie să fie de două ori diferențiată cel puțin în apropierea rădăcinilor.
Metodele aproximative de rezolvare F (x) = 0 constau în principal în două etape.
Prima etapă. Ramurile rădăcinii, adică găsirea unui interval în care există doar o rădăcină. Acest interval se numește intervalul de izolare a rădăcinilor.
A doua etapă. Rafinări ale valorii aproximative, adică îngustarea intervalului de izolare la un anumit grad de precizie predeterminat.
2. Departamentul de rădăcini bazat pe faptul că, dacă - rădăcina ecuației F (x) = 0, atunci valorile valorilor argument ale funcțiilor F (a) și F (b) vor avea semne diferite, adică ...
Exemplul 1. Separați rădăcinile ecuației.
Soluția. Noi compunem un tabel de valori ale funcției pentru diferite valori alese arbitrar.
Se stabilește că între -2 și 0, între 0 și 3 există cel puțin o rădăcină.
3. Separarea grafică a rădăcinilor. După construirea graficului funcției y = F (x), putem determina punctele de intersecție a acesteia cu abscisa, adică valorile aproximative ale rădăcinilor.
Uneori este posibilă înlocuirea ecuației F (x) = 0 cu o ecuație echivalentă. Absențele punctelor de intersecție ale graficelor vor fi rădăcinile ecuației inițiale.
Exemplul 2. Separați rădăcinile ecuației.
Soluția. Rescriem ecuația în formă, construim graficele funcției.
Verificăm că intervalul găsit separă exact o rădăcină, pentru aceasta trebuie să luăm primul derivat și să verificăm dacă acesta păstrează semnul pe interval, adică dacă semnele lui y și x sunt identice.
Prin urmare, este intervalul de izolare a rădăcinii ecuației.
4. Clarificarea rădăcinilor se realizează printr-o metodă iterativă, care, prin intervalul inițial de izolare, ne permite să găsim un interval mai restrâns aparținând intervalului etc. Aceasta se poate face prin metode diferite.
Metoda divizării
Metoda este că de împărțire în două intervalul de izolare, găsit la departamentul rădăcină. împărțiți aproximativ (sau exact) în jumătate. Punctul de mijloc este determinată semn al funcției F (c) și pentru următoarea valoare de izolare interval a tarifului sau jumătățile. la capetele cărora funcția are semne diferite. Din intervalul constatat ca au primit, adică se divide în jumătate, și așa mai departe, atâta timp cât lungimea sa nu va satisface o precizie predeterminată, adică până la inegalitatea, atunci, unde -...... Ecuația rădăcină dorită și , este precizia specificată.
Metoda de divizare divizată întotdeauna converge, însă necesită calcule foarte lungi. Se utilizează în calcule cu un grad mic de precizie.
Exemplul 3. Reduceți intervalul de izolare rădăcină găsit în exemplul 2, astfel încât lungimea sa să nu fie mai mare de 0,1.
, rădăcină; . Luăm aproximativ jumătatea acestui interval, calculăm. Noul interval de izolare va fi. Din nou, îi luăm mijlocul. Deci, este mai restrânsă decât intervalul de izolare descoperit grafic.
Rădăcina poate fi considerată egală cu 0,65 cu precizie de la = 0,01 sau cu o eroare.
Metoda acordurilor și tangentelor
Această metodă combinată este cea mai eficientă metodă de rafinare a rădăcinii. Semnificația geometrică a acestei metode este ilustrată în Fig. 2.
Intersecția tangentei și a coardei va da un nou interval de izolare mai restrâns :. În acest interval este de asemenea posibil să se construiască o coardă și o tangentă, care dă un interval etc., până când inegalitatea este satisfăcută.
Evident, tangenta și coarda rulează de-a lungul diferitelor laturi ale arcului și că tangenta trebuie extrasă din convexitatea graficului funcțional.
Calcularea limitelor intervalului de izolare se efectuează conform schemei
Cantitățile se numesc corecții și se calculează din direcția convexității în conformitate cu următoarele formule
unde - limitele intervalului de izolare găsite în timpul separării rădăcinilor. Calculele sunt efectuate până când inegalitatea este îndeplinită.
Valoarea rădăcină este luată egală cu mijlocul segmentului
În același timp ar trebui să fie.
Metoda acordurilor și tangentelor converge la valoarea exactă a rădăcinii în următoarele condiții :.
1. F (x) este monotonică, adică nu schimbă semnul.
2. F (x) păstrează direcția convexității, adică nu schimbă semnul.
3. Nu devii foarte mare.
4. Nu prea aproape de zero.
5. Aproximarea inițială este suficient de apropiată de rădăcină, adică intervalul de izolare este suficient de mic.
Eroarea metodei este egală cu eroarea de rotunjire care a avut loc la ultima iterație. Erorile întâmplătoare nu afectează precizia calculelor.
Calculele ar trebui efectuate cu o singură cifră semnificativă.
1. În prima etapă de rezolvare a ecuației, graficul trebuie construit cât mai exact posibil. După găsirea intervalului de izolare a rădăcinilor, este necesar să ne asigurăm că funcția F (x) la capetele acestui interval are semne diferite. Dacă această condiție
este necesar să se verifice corectitudinea plotării.
2. Atunci când se specifică rădăcina, este necesar să se asigure că secvențele sunt monotonice și
. Secvențele trebuie, de asemenea, să scadă monoton.
3. Se recomandă monitorizarea semnelor de cantități. Aceste cantități trebuie să păstreze același semn ca și. Încălcarea acestei condiții înseamnă "sărituri" prin rădăcină, ceea ce se poate datora unei selecții incorecte a formulelor de calcul, a unei erori aritmetice sau a unei erori de rotunjire. Pentru a evita ultima eroare, rotunjirea corecțiilor ar trebui făcută în direcția scăderii valorii absolute.
Sarcină. Având în vedere ecuația F (x) = 0, găsiți rădăcina acestei ecuații cu o precizie de e.
1. Construiește un grafic al funcției y = F (x), sau
2. Determinați intervalul [a; b], care izolează abscisa punctului de intersecție al graficelor.
3. Verificați dacă la capătul acestui segment funcția originală are semne diferite.
4. Este necesar să se reducă intervalul de izolare astfel încât lungimea sa să fie egală cu 0,1 prin metoda de divizare divizată. Se consideră că intervalul rezultat este inițial.
5. Găsiți derivatele. Verificați dacă semnele lor sunt salvate. Identificați aceste semne.
6. Selectați formulele de calcul pentru metoda acordurilor și tangentelor.
7. Desenați și completați formularul de calcul (a se vedea exemplul 3).
8. Răspunsul trebuie să conțină valorile rădăcinii, funcțiile de la rădăcină și estimarea erorii.
Exemplul 4. Calculați cu precizie rădăcina mai mică a ecuației.
1. Separarea grafică a rădăcinilor și perfecționarea intervalului de izolare pentru această ecuație este dată mai sus.
2. Verificăm aplicabilitatea metodei acordurilor și tangentelor la această ecuație.
Trimiteți-le prietenilor: