Vectori și matrice

În acest capitol, luăm în considerare caracteristicile numerice de bază ale matricelor (operatorilor) și metodele de calculare a acestora. Este o cunoaștere a caracteristicilor numerice de bază ale operatorului care vă permite să prezicați impactul acestui operator în spațiu și vă permite să rezolvați în mod conștient problema principală - găsirea unei soluții pentru ecuația operatorului din formular.







Normele vectorilor și matricelor

În spațiul vectorial, putem defini următoarele funcționale cu proprietățile normei (așa-numita normă):

Pentru diferite valori ale parametrului, obținem norme diferite, dintre care cele mai importante sunt următoarele (cu corespunzătoare):

Normele u într-un spațiu vector sunt considerate a fi echivalente dacă există constante pozitive u. că pentru orice element inegalitatea deține.

Toate normalele din spațiu sunt echivalente. În special, se manifestă următoarele inegalități:

Echivalența normelor u implică convergența secvenței în normă sub condiția convergenței ei în normă și invers.

Exemplu: Calculați -ormile unui vector.

Deoarece spațiul matricelor este izomorf la un spațiu vectorial. apoi definește și - norme bazate pe regulile vectoriale corespunzătoare conform regulii

pentru că . atunci este clar că norma matricei (operator) este norma celui mai mare vector obținut prin acțiunea operatorului pe vectori normalizați la (lungimea unității în -norm). Normele de matrice construite în acest mod sunt operator sau subordonate normelor corespunzătoare vectorilor. Norma subordonată a matricei (operator) este abaterea maximă de la zero a sferei unității de spațiu deformată sub acțiunea operatorului dat (vezi Fig.). Din definiția 2.18 rezultă că așa-numita condiție de compatibilitate este îndeplinită.

Astfel, norma subordonată este cea mai mică dintre normele convenite.

Formulele pentru calculul subordonatelor - normi de matrice (pentru) sunt date mai jos:

În plus față de aceste norme, considerăm norma euclidiană a matricei

Exemplu: Calculați -ormile și norma euclidiană a matricei.

Să rezolvăm ecuația caracteristică pentru determinarea valorilor proprii. Extinderea determinantului din partea stângă, obținem ecuația cuadratoare sau. Rădăcinile sale. Cea mai mare valoare proprie este. În consecință ,.

Normele introduse sunt echivalente, deoarece următoarele estimări conțin:

În practică, este necesar să se utilizeze normele subordonate ale vectorilor și matricelor, adică dacă, spre exemplu, se dovedește convergența metodei de iterații simple în norma matricei. atunci verificarea terminării procedurii iterative trebuie efectuată în norma subordonată a vectorului.

norma matricei necesită calcularea valorilor proprii ale matricei. care este o problemă destul de complicată pentru matricile de dimensiuni mari (vom vedea mai jos). Prima estimare, în loc de o normă subordonată, ne permite să folosim norma echivalentă echivalentă cu matricea euclidiană, conformă cu norma vectorului.

Soluția ecuației operatorului. așa cum sa arătat mai sus pe exemplul SLAE al ordinului doi, se poate dovedi incorect din cauza instabilității soluției rezultate (cu condiția existenței operatorului invers). Soluția se abate puternic pentru abateri mici din partea dreaptă. Aceasta înseamnă că operatorul invers are o normă mare (coeficient mare de întindere), adică Elementele mari apar în matrice. Se spune că un astfel de operator este prost condiționat.







Fie soluția exactă a ecuației. a este soluția sa aproximativă. Denumiți - eroarea soluției aproximative și - discrepanța.

pentru că . și anume eroarea și reziduul sunt legate de ecuație. de unde. Ie eroarea este determinată de discrepanță. În cazul general, este eronat să presupunem că micuța reziduului conduce la o eroare mică în soluție. Acest lucru nu este valabil în clasa operatorilor slab condiționați.

Este necesar să se determine caracteristicile cantitative ale operatorului, care să permită evaluarea relației dintre rata de eroare și rata reziduală. În practică, nu sunt valorile absolute ale u care sunt de interes. și modificările lor relative și. Evaluarea speciei este importantă. Găsiți coeficientul. care depinde de operator. pentru că . atunci. pentru că . atunci. Noi multiplicăm aceste inegalități. Avem. Împărțirea dă.

Coeficientul este numit numărul condiției unui operator linear inversabil (matrice).

Dacă numărul este mare, atunci operatorul este considerat malformat. Conceptul de "mare" sau "nu grozav", desigur, depinde de rezolvarea problemei particulare, de precizia cu care este necesară găsirea unei soluții. pentru că . atunci numărul condiționalității este o valoare nu mai mică de una.

Se poate observa că numărul condiționalității depinde de alegerea normei operatorului. Estimăm în funcție de valorile proprii ale operatorului.

Pentru că și. apoi și. atunci

Numărul calculat ca raport al celei mai mari valori proprii a operatorului la cel mai mic modulo eigenvalue se numește numărul Todd. Indicăm asta prin. Avem următoarea limită inferioară pentru numărul condiției :.

Numărul Todd este raportul celui mai mare semiaxis la semiaxisul cel mai mic al elipsoidului împrăștiat al operatorului. raportul celui mai mare coeficient de extensie al unui subspațiu corespunzător cu cel mai mic coeficient de întindere al unui alt subspațiu eigenspace al operatorului (vezi Fig.).

În literatură există și alte definiții ale numerelor de condiționare. ], având o semnificație probabilistică a raporturilor medii pătrată de deviație.

Deoarece cele mai multe metode de rezolvare a ecuației se bazează pe o transformare secvențială prin înmulțirea de la stânga la matricele elementare la unele forme simple - diagonale, triunghiulare etc. atunci ar trebui investigat modul în care datele de multiplicare afectează condiționalitatea.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

Dacă matricea nu este degenerată și. multiplicarea matricei din stânga nu schimbă numărul condiționalității matricei.

dacă și numai dacă. asta.

Numărul condiției este invariabil în ceea ce privește multiplicarea matricei cu o constantă, adică .

Notă: Operatorul poate fi condiționat, chiar dacă nu are valori proprii mici. Pe de altă parte, prezența unei valori absolute absolute absolute a valorii proprii implică o condiție slabă a operatorului.

Notă: Nu este adevărat că un operator slab condiționat este un operator aproape degenerat (adică,). Condiția este necesară, dar nu este un semn suficient de condiționalitate proastă. De exemplu, luați în considerare matricea. unde este un număr pozitiv mic și matricea unității este de ordin suficient de mare. . Dar determinantul în general tinde la zero, pentru că .

Geometric, săraci condiționat SLAE pot fi interpretate după cum urmează: subspatiu liniar dat de sistem ecuații, fie singur „aproape“ paralel sau intersecția lor formează un „aproape“ subspatiu paralelă cu dimensiunea mai mică.

Luați în considerare sistemul. Nu este degenerat. Numărul său de condiționalități este mare. Fiecare ecuație a sistemului definește ecuația unei linii drepte în plan. Se poate observa că liniile sunt "aproape" paralele. Coeficienții unghiali ai acestora sunt apropiați (și), dar nu sunt egali și, prin urmare, liniile se intersectează. O schimbare în partea dreaptă a primei ecuații cu 0,1 implică o schimbare a punctului de intersecție al primei linii drepte cu axa cu 0,01 și traducerea paralelă a primei linii drepte. Punctul de intersecție al acestor linii este o soluție nouă a sistemului - pentru linii aproape paralele, el "fuge" din vechea soluție (vezi Fig.).







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: