Teoria lui Galois.
Cu toate acestea, nu a fost totul. Cel mai remarcabil lucru din teoria ecuației algebrice a rămas încă înainte. Faptul este că există cât mai multe tipuri parțiale de ecuații de toate gradele rezolvate în radicali și doar ecuații care sunt importante în multe aplicații. Acestea sunt, de exemplu, ecuațiile binomiale
Abel a găsit o altă clasă foarte largă de astfel de ecuații, așa-numitele ecuații ciclice și chiar mai generale ecuații "abeliane". Gauss, în legătură cu problema construirii printr-o busolă și un conducător de poligoane regulate, a considerat în detaliu așa-numita ecuație pentru împărțirea unui cerc, adică o ecuație a formei
unde este un număr prime și a arătat că poate fi întotdeauna redusă la rezolvarea unui lanț de ecuații cu grade mai mici și a găsit condițiile necesare și suficiente pentru ca o astfel de ecuație să fie rezolvată în radicalii pătrari. (Necesitatea acestor condiții a fost justificată riguros de Galois.)
Deci, după lucrarea poziției lui Abel a fost următoarea: deși, așa cum se arată de către Abel, ecuația generală de grad mai mare decât al patrulea, în general vorbind, nu poate fi rezolvată prin radicali, dar există un număr nelimitat de ecuații diferite particulare de orice grad, care încă mai îndrăznesc radicali. Întreaga chestiune de rezolvare a ecuațiilor în radicali a fost pusă de aceste descoperiri pe o bază complet nouă. A devenit clar că trebuie să căutăm toate ecuațiile rezolvate în radicali sau, cu alte cuvinte, care este condiția necesară și suficientă pentru ca ecuația să fie rezolvată în radicali. Această întrebare, răspunsul la care a dat, într-un anumit sens, clarificarea finală a întregii probleme, a decis genialul matematician francez Evariste Galois.
Galois (1811-1832) a murit la vârsta de 20 într-un duel și în ultimii doi ani ai vieții sale, el nu a putut dedica studii de timp mult în matematică, pentru că el a fost fascinat de turbionul rapidă a vieții politice de la Revoluția din 1830 a fost închis pentru opoziția sa față de regimul reacționar Louis-Philippe, și așa mai departe. n. cu toate acestea, în timpul vieții sale scurte Galois realizate în diferite părți ale descoperirii matematicii, cu mult înaintea timpului său, și, în special, a dat cea mai remarcabilă a rezultatelor disponibile în teoria ecuațiilor algebrice. Micul lucrare „Memoriul privind condițiile solvabilitatii de ecuații cu radicali,“ rămânând în manuscrisele lui după moartea sa, și pentru prima dată a făcut publice numai prin Liouville în 1846 Galois, bazat pe motive simple, dar profunde se descurca în cele din urmă întreaga minge de dificultăți centrate în jurul teoriei soluția ecuațiilor în radicali, dificultățile asupra cărora au luptat cei mai mari matematicieni înainte. Succesul Galois sa bazat pe faptul că el a fost primul care a aplicat teoria ecuațiilor într-un număr de extrem de importante, noi concepte generale, mai târziu, a jucat un rol important în toate matematicii ca întreg.
Considerăm teoria Galois pentru cazul special, și anume, când coeficienții unei ecuații date de grad
Sunt numere raționale. Acest caz este deosebit de interesant și conține
în sine, în esență, toate dificultățile teoriei generale a lui Galois. În plus, vom presupune că toate rădăcinile ecuației în cauză sunt distincte.
Galois începe cu faptul că, la fel ca Lagrange, el consideră o expresie a gradului 1 față de
dar nu impune ca coeficienții acestei expresii au fost rădăcinile unității, și ia unor numere întregi raționale astfel încât toate au fost numeric diferite valori sunt obținute în cazul în care V rearanja rădăcinile toate modurile posibile. Acest lucru se poate face întotdeauna. Mai mult, Galois este gradul de ecuație a cărei rădăcini nu sunt greu pentru a arăta cu ajutorul teoremei pe polinoame simetrice, coeficienții de gradul ecuației sunt numere raționale.
Până acum, totul este destul de similar cu ceea ce a făcut Lagrange.
Următorul Galois introduce primul concept nou important - conceptul de ireductibilitate a unui polinom într-un câmp de numere date. Dacă ni se dă un polinom a cărui coeficienți sunt, de exemplu, rațional, numit polinom reductibil în domeniul numerelor raționale în cazul în care acesta poate fi reprezentat ca un produs de polinoame de grad inferior, cu coeficienți raționali. Dacă nu, atunci se spune că polinomul este ireductibil în domeniul numerelor raționale. polinom reductibil în domeniul numerelor raționale, deoarece este o, de exemplu, un polinom așa cum se poate demonstra ireductibilă în domeniul numerelor raționale.
Există însă metode care necesită calcule lungi, pentru a extinde orice polinom dat cu coeficienți raționali în factori ireductibili în domeniul numerelor raționale;
Galois propune să descompună polinomul obținut în factori ireductibili în domeniul numerelor raționale.
Să fie unul dintre acești factori ireductibili (care dintre ei, oricum, pentru viitor) și să lăsați-l să fie de grad.
Polinomul va fi apoi produsul de multiplicatori ai nivelului 1 pentru care se descompune polinom de grad Să acești factori sunt - renumeroteze ca orice numere (numere) rădăcini predeterminate ecuație grad. Apoi, toate permutările posibile ale numerelor rădăcinilor sunt incluse, și numai în aceia dintre ei. Setul acestor permutări de numere este numit grupul Galois al ecuației date
Următoarea Galois introduce câteva concepte noi si conduce, deși simplu, dar argumente cu adevărat remarcabile, din care se dovedește că o necesară și suficientă pentru ecuația (6) a fost rezolvată prin radicali, este faptul că numărul de permutări ale grupului satisfac unele o anumită condiție.
Astfel, prezicerea lui Lagrange, că teoria permutărilor este în centrul întregii probleme, sa dovedit a fi corectă.
În particular, teorema lui Abel privind nedecidabilitatea unei ecuații generale de gradul cinci în radicali poate fi acum dovedită după cum urmează. Se poate arăta că există atâtea ecuații de gradul 5, chiar și cu coeficienți întregi astfel, pentru care polinomul corespunzătoare a gradul de 120 mii t ireductibilă. E. O astfel că grupul Galois este gruparea tuturor permutări numerele 1, 2, 3 , 4, 5 din rădăcinile lor. Dar acest grup este, cum se poate demonstra, nu îndeplinesc criteriile (semnele) Galois, și, prin urmare, astfel de ecuații de gradul 5 nu pot fi rezolvate în radicali.
De exemplu, se poate demonstra că ecuația în care a este un număr întreg pozitiv nu este rezolvată în radicali. De exemplu, nu poate fi rezolvată în radicali cu
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: