Stabilitate absolută și robustă

1. Conceptul de stabilitate absolută

2. Criteriul stabilității absolute a lui Popov

3. Investigarea stabilității absolute pentru o parte liniară instabilă

4. Testul circular Voronov







5. Stabilitate robustă


1. Conceptul de stabilitate absolută

Metoda de stabilitate absolută este utilizată pentru a studia stabilitatea sistemelor neliniare atunci când valorile caracteristicilor elementelor neliniare sunt cunoscute în mod incorect. Incompletența informațiilor poate fi cauzată de eroarea de fabricație, neglijarea anumitor factori, îmbătrânirea elementelor etc. Pentru a garanta stabilitatea sistemului, în ciuda informațiilor incomplete despre neliniarități, a fost introdus conceptul de stabilitate absolută. În același scop, sunt introduse clase de neliniarități [4]. De exemplu, în Figura 1, sunt prezentate nelinearitățile din clasă. Prin definiție, toate funcțiile neliniare aparțin acestei clase, al cărui grafic se află între liniile drepte și. în cazul în care.

De cele mai multe ori, se folosesc următoarele tipuri de clase de neliniarități de acest tip: [0; k], (figura 1, b); clasa (figura 2, a); clasa [k 1; k 2] unde. (Figura 2, b). Există și alte clase de neliniarități definite de expresii mai complexe [2, 4].

În practică, clasa uneia sau alteia dintre neliniarității trebuie să fie selectate astfel încât procesul de îmbătrânire, uzura elemente ale sistemului sau orice alte modificări neliniaritate naturale păstrat apartenența la clasa originală.

Definiția. Sistemul este numit absolut constant. dacă poziția sa unică de echilibru este stabilă asimptotic în general pentru orice nelinearitate dintr-o anumită clasă.

2. Criteriul stabilității absolute a lui Popov

Pentru studiul stabilității absolute, au fost propuse un șir de criterii pentru stabilitatea absolută. Cele mai răspândite dintre ele au fost următoarele două: criteriul de stabilitate VM Popov și criteriul circular propus de AA Voronov.

Criteriul Popov este folosit pentru a studia stabilitatea absolută a sistemelor cu o neliniaritate din clasa [0, k], unde. Pentru a aplica acest criteriu, diagrama structurală a sistemului este redusă la forma prezentată în Fig. 3.

unde # 150; administrare # 150; vector de stare.

Trecând la imaginile (1) și (3) către Laplace, obținem

Criteriul Popov poate fi aplicat numai în acele cazuri în care sunt îndeplinite următoarele condiții:

c) un sistem liniar obținut de la un nonlinear când este înlocuit cu. este asimptotic stabil, adică satisface criteriul Hurwitz sau Nyquist pentru toți [0; k].

Criteriul lui Popov. Sistemul neliniar prezentat în figura 3 este absolut stabil dacă condițiile de mai sus a) # 150; c), și pentru toți [0,] se aplică următoarea inegalitate:

aici # 150; este un număr arbitrar. ■

Criteriul lui Popov este suficient.

Forma geometrică a testului Popov. Pentru studiul grafic al sistemului, șopronul Popov este construit pentru stabilitate absolută. care este determinată de formula:

Aici () și () # 150; părți reale și imaginare. și anume = () + (). Amintiți-vă că este pentru construirea lui Hodograph Nyquist pentru partea liniară a sistemului arătat în figura 3. De exemplu, Fig. 4 prezintă vârfurile lui Popov și Nyquist. pentru același sistem.

Versiunea grafică criteriul Popov este după cum urmează: Dacă prin punctul în care se poate trage o linie dreaptă, astfel încât Popov oferă pe deplin izvor de falie dreptul de ea, sistemul este absolut stabil. ■

În Fig. Figura 5 prezintă șopronurile Popov construite pentru un sistem absolut stabil (Fig.5a) și un sistem care nu este absolut stabil (Figura 5b).

Studiind hograful, Popov, [25. Pp 185], că în cazul în care partea lineară a sistemului este o conexiune serie de unități de inerție și nu mai mult de un integrator, complot polar corespunzător Popov este convex (Fig. 5b). În acest caz, valoarea limită pentru care sistemul este absolut stabil conform criteriului lui Popov va coincide cu valoarea. dată de criteriul de stabilitate Nyquist, dacă nelinearitatea este înlocuită de o linie dreaptă. Prin urmare, dacă partea liniară a sistemului neliniar are forma indicată, atunci pentru studiul stabilității absolute este posibil să se aplice criteriul Nyquist în locul testului Popov.

Exemplul 1. Investigați stabilitatea absolută a sistemului, schema acestuia fiind prezentată în Fig. 6.

Liniaritatea aparține sectorului [0; 10], adică [0; 10].

Soluția. Pentru a rezolva problema, vom construi Hodograph Popov. Pentru a face acest lucru, selectăm mai întâi părțile reale și imaginare. Avem

Specificarea valorilor frecvenței. vom compila tabelul 1.

Pozortul lui Popov corespunzător este construit în Fig. 7. După cum se poate observa, în acest caz este posibilă trasarea unei linii drepte prin punctul (# 150; 0,1; j 0), astfel încât să fie poziționată în dreapta lui Hodop Popov. În consecință, sistemul în cauză este absolut stabil. ■

Exemplul 2. Investigați pentru stabilitate absolută un sistem a cărui diagramă structurală este prezentată în Fig. 3, și funcția de transfer a părții liniare

Nonlinearitatea [0; 5], adică k = 5.

Soluția. Deoarece partea liniară este o combinație succesivă de legături inerțiale, criteriul Nyquist poate fi folosit pentru a rezolva problema. În Fig. 8 prezintă o vedere generală a locației curbei de călătorie Nyquist pentru sistemele cu o funcție de transfer a unei forme date.

Evident, pentru a rezolva problema în acest caz, este suficient să comparăm valorile cu valoarea pentru k = 5. Prin urmare, scriem și găsim frecvența. Avem

Echitând partea imaginară a numitorului în această expresie la zero, ajungem

Aici. Apoi. Starea (5), în conformitate cu Fig. 8, este mulțumit dacă. și anume în cazul în care. În consecință, sistemul în cauză este absolut stabil. ■

Nu este greu pentru a vedea că în cazul în care partea liniară a sistemului neliniar este o secvență? Compus -Inflammatory link-uri inerțiale și un integrator, studiul de stabilitate absolută este mult simplificată, pentru că în loc criteriul Popov poate fi aplicat criteriul Nyquist.

3. Investigarea stabilității absolute pentru o parte liniară instabilă

Toate criteriile cunoscute pentru stabilitatea absolută sunt formulate pentru cazul în care partea liniară a sistemului este asimptotic stabilă. Prin urmare, pentru o parte liniară instabilă, pentru a asigura posibilitatea aplicării criteriilor absolute de stabilitate, este în primul rând necesar să transformăm sistemul astfel încât partea liniară a sistemului transformat să fie stabilă. În acest scop, se utilizează, de obicei, feedback suplimentar.







Luați în considerare, de exemplu, sistemul arătat în Fig. 9, a [25], unde funcția de transfer

iar nelinearitatea aparține clasei [0,2; 6], adică

Găsiți condițiile în care sistemul dat este absolut stabil.

Partea liniară în acest caz este instabilă, deci introducem constrângeri suplimentare cu coeficientul de transmisie. așa cum se arată în Fig. 9, a. Deoarece conexiunile tipizate se compensează reciproc, schema rezultată este echivalentă cu cea originală. Apoi transferăm intrarea feedback-ului pozitiv din ieșirea sistemului la ieșirea elementului de comparare, așa cum se arată în Fig. 9, b. Din cauza transferului prin elementul de comparație, această relație va deveni negativă, dar sistemul rezultat va fi, ca și înainte, echivalent cu cel original.

Funcția de transfer, luând în considerare (6) și neliniaritatea circuitului echivalent (Fig.9, c), este determinată de formulele

Evident, în cazul în cauză

Deoarece sistemul c () (7) trebuie să fie stabil, sistemul în cauză poate fi absolut stabil, dacă este numai.

Având în vedere aplicarea criteriului Popov, vom adopta. Apoi. și condiția implică inegalitatea sau.

În cazul examinat, ordinea părții liniare este egală cu două, deci când și timpul de călătorie al lui Popov va fi localizat în al patrulea și al treilea cvadrant, așa cum se arată în Fig. 7. În plus, linia Popov prin punctul (# 150; 1 / 5,8; j 0) poate fi întotdeauna executată astfel încât criteriul Popov să fie îndeplinit.

Astfel, sistemul în cauză va fi absolut stabil pentru u.

4. Testul circular Voronov

Criteriul Voronov face posibilă investigarea stabilității absolute atunci când nelinearitatea îndeplinește condițiile:

Definiția. Dacă () [k 1; k 2] și condiție

în cazul în care. atunci sistemul liniar este absolut stabil. ■

Grăitor, condiția (8) criteriul Voronova este că stabilitatea absolută a sistemului neliniar suficient pentru a Nyquist parcelă polară a părții liniare a sistemului (Fig. 3) nu sunt „semn“ în zona restricționată, așa cum se arată în Fig. 10 și Fig. 11 # 150; 13. În Fig. 10 această zonă este un cerc și este arătată prin ecloziune.

În Fig. 10 # 150; 13 "regiunile interzise" sunt umbrite atât pentru nelinearitatea (a) cât și pentru timpul de călătorie Nyquist pentru partea liniară a sistemului (b) respectiv.

Stabilitate absolută și robustă

Criteriul circular al lui Voronov este mai simplu de aplicat, dar oferă condiții mai stricte ("mai suficiente") de stabilitate absolută. Prin urmare, este recomandabil să se aplice atunci când sau. și anume în cazurile în care este imposibil să se aplice criteriul lui Popov.

5. Stabilitate robustă

Stabilitatea absolută, după cum sa menționat mai sus, este asociată cu dorința de a ține seama de incertitudinile care apar în descrierea nelinearităților din modelul dinamic al sistemului. Cu toate acestea, în general, elementele liniare pot conține, de asemenea, incertitudini, deoarece parametrii modelelor lor sunt, de asemenea, determinați cu unele erori. În legătură cu aceasta, este introdusă așa-numita stabilitate robustă a sistemelor de control.

Incertitudinile în determinarea parametrilor sistemului, cum ar fi constantele de timp sau factorii de transmisie, înseamnă că valorile exacte ale acestor parametri nu sunt cunoscute. De fapt, este întotdeauna cunoscută doar faptul că valorile acestor parametri se află în anumite limite. Noi subliniem faptul că coeficienții înșiși. Constantele de timp și alți parametri ai sistemului sunt presupuși a fi constanți.

Aceasta conduce la faptul că, în ceea ce privește, de exemplu, coeficienții polinomului caracteristic și alți parametri ai diferitelor modele ale sistemului de control, sunt cunoscute numai intervalele în care se află valorile lor.

De exemplu, coeficienții polinomului caracteristic

sistemul liniar poate fi dat de relații

Coeficienții specificați în acest mod se numesc coeficienți de interval, iar diferența # 150; intervale. Valorile superioare și inferioare sunt calculate în partea superioară. și mai mici. valorile coeficienților. metode de matematică interval [22].

De obicei, polinomul de interval al ordinului n este scris astfel:

În aplicațiile tehnice, diferite erori și incertitudini sunt cele mai des determinate de o eroare relativă. Prin urmare, coeficienții polinomului caracteristic sunt adesea date de valorile calculate. găsită cu o anumită eroare relativă%, adică Cu această specificare a coeficienților, valorile lor superioare și inferioare sunt determinate de relațiile evidente:

În acest sens, vom presupune că valorile superioare și inferioare ale coeficienților polinomului caracteristic (11) al sistemului de control sunt date. Erori relative% pot fi aceleași pentru toți coeficienții, adică

Definiția. Sistemul dinamic cu polinomul caracteristic (11) este robust stabil. dacă este stabilă asimptotic în ansamblu pentru orice valoare a coeficienților constanți. din intervalele (10).

Pentru a evalua stabilitatea robustă a sistemelor cu parametri de interval, criteriul propus de VL este de obicei folosit. Kharitonov [22]. Acest criteriu face posibilă reducerea problemei studierii stabilității robuste a sistemelor dinamice la problema investigării proprietății Hurwitz a anumitor polinoame. În acest scop, sunt compilate mai întâi patru polinomi Kharitonov de forma următoare:

Fiecare dintre aceste polinoame are un grad egal cu gradul polinomului interval (11), iar coeficienții lor sunt egali cu valorile limită ale coeficienților de interval ai acestui polinom.

Criteriul lui Kharitonov. Un sistem dinamic cu polinomiale caracteristice intervalului (11) este robust stabil dacă toate cele patru polinomi de tip Kharitonov (13) sunt polinomi Hurwitz. ■

Astfel, pentru a studia stabilitatea robustă a unui sistem cu parametri de interval. Trebuie să găsim un polinom caracteristic intervalului acestui sistem în formă (11), apoi creați patru polinoame Kharitonov (13) pentru a verifica dacă acestea îndeplinesc criteriul Hurwitz și Routh.

Exemplul 3. Investigați stabilitatea robustă a unui sistem cu un polinom caracteristic

Soluția. În acest caz, polinomii Kharitonov au forma

În acest caz, gradul polinomilor Kharitonov. prin urmare

În locul criteriului Hurwitz, se poate folosi criteriul stabilității asimptotice a lui Vyshnegradskii.

Reamintim că, în conformitate cu criteriul Vyshnegradsky de gradul polinom este Hurwitz dacă toți coeficienții săi este mai mare decât zero, iar produsul său coeficienților „medii“ mai mare decât produsul coeficienților „extreme“.

Aplicând acest criteriu la polinomii (14), constatăm că în acest caz toate cele patru polinomi de tip Kharitonov (14) sunt polinomi Hurwitz. În consecință, sistemul în cauză este robust stabil. ■

Să analizăm pe un exemplu concret problema de estimare a stabilității robuste a unui sistem de ordinul trei atunci când se specifică precizia relativă a setării parametrilor.

Exemplul 4. Estimați stabilitatea robustă a unui sistem cu un polinom caracteristic

la 5% și 2% din eroarea de punere în aplicare a coeficienților săi.

Soluția. Pentru valorile exacte (calculate) ale coeficienților, sistemul dat este evident asimptotic stabil. Într-adevăr, toți coeficienții polinomului (15) este mai mare decât zero, iar produsul său coeficient de „mediu“ egală cu 186, ca mai mult de lucru factor de „extremă“ egal cu 160. Prin urmare, în conformitate cu criteriul de sistem Vyshnegradsky este stabil.

La implementarea coeficienților cu o eroare de 5%, în conformitate cu (12), valorile limită ale intervalelor sunt:

În consecință, polinomul de interval al sistemului în cauză în acest caz are forma

și polinoamele Kharitonov corespunzătoare

În acest caz, primul, al doilea și al patrulea polinomial îndeplinesc criteriul Vyshnegradskii, iar al treilea # 150; nu satisface, din moment ce 2,8558,9 = 167,865 și 8,421 = 176,4.

Astfel, atunci când se implementează coeficienții cu o eroare de 5%, sistemul în cauză nu este robust stabil.

La implementarea coeficienților cu o eroare de 2%, valorile limită ale intervalelor sunt:

și polinoamele Kharitonov corespunzătoare

În acest caz, inegalitățile criteriului Vyshnegradskii arată ca: 185,93> 159,94; 185,93> 159,94; 178,63> 166,46; 193,15> 153,64.

Astfel, cu realizarea coeficienților cu o eroare de 2%, toate cele patru polinoame Kharitonov satisfac criteriul Vyshnegradskii, adică, în acest caz, sistemul în cauză este robust stabil.

Absența în Anglia a unei erori clar exprimate a absolutismului, cum ar fi în Franța; existența parlamentului în absolutismul britanic; compromisul și caracterul neterminat al revoluției burgheze britanice a Întreprinderii Unității de Stat; continuitate în dezvoltarea instituțiilor de stat a permis istoricilor burghezi și gosudarstvoved atribuit apariția ordinii constituționale în Anglia XIII la secolele XV a nega existența unei perioade de absolutismului în țară trata revoluția burgheză în limba engleză a secolului al XVII-lea. f ca un conflict constituțional-religios.

Proprietatea sistemului de a ajunge la starea inițială după eliminarea perturbării se numește stabilitate. Criteriul de stabilitate este o regulă care face posibilă determinarea stabilității unui sistem fără a se calcula rădăcinile ecuației caracteristice.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: