Marele matematician rus PL Chebyshev a scris într-una din lucrările sale că o importanță deosebită se acordă acelor metode de știință care ne permit să rezolvăm o problemă comună pentru toată activitatea practică a omului? Cum să eliminați mijloacele pentru a obține cel mai mare beneficiu posibil. Cu astfel de sarcini trebuie să ne ocupăm de reprezentanții celor mai diverse specialități. Tehnologii-ingineri se străduiesc să organizeze producția astfel încât, pe cât posibil, să poată face cât mai multă producție pe parcul de mașini existente. Proiectanții își îngroapă creierul încercând să facă cel mai ușor dispozitiv pe nava spațială. Economiștii încearcă astfel să planifice atașarea plantelor la surse de materii prime, astfel încât costurile de transport să fie cele mai mici.
Dar nu numai oamenii trebuie să rezolve probleme similare. Inconștient, unele tipuri de insecte și alte ființe vii se descurcă cu ele. De exemplu, forma celulelor de tip fagure este astfel încât, pentru un volum dat, acestea au cea mai mică cantitate de ceară. Și, deși albinele nu studiau matematică superioară, selecția naturală inexorabilă a condus la supraviețuirea numai a albinelor, care au făcut cel mai puțin efort pentru a construi faguri de miere.
Albinele ajută la rezolvarea instinctului lor de sarcini. Omul se deosebește de faptul că mintea lui vine în ajutorul lui. Matematicienii au reușit să dezvolte metode de rezolvare a problemelor pe cele mai mari și cele mai mici valori, sau, așa cum sunt numite, sarcini de optimizare (din latinescul „optimă“ - este cel mai bun), pentru că în cuvintele lui P. Cebîșev, cele mai multe dintre întrebările practica conduce la problema cele mai mari și mai mici valori, și numai prin rezolvarea acestor probleme putem satisface cerințele practicii, care este pretutindeni căutând cele mai bune, cele mai profitabile
Dăm exemple de probleme.
Un fascicul cu o secțiune dreptunghiulară din cea mai mare zonă este tăiat din jurnalul rotund. Găsiți dimensiunea secțiunii fasciculului, dacă raza secțiunii jurnalului este R cm.
Soluție: Indicați lățimea dreptunghiului cu x, atunci înălțimea lui h este egală cu:
iar zona dreptunghiului conform formulei S = ab va fi exprimată prin formula:
Rezolva problema, apoi găsiți x, la care funcția are cea mai mare valoare.
Vom găsi derivatul funcției
Derivatul există în intervalul 0 0;
- valoarea optimă (cea mai bună) a lățimii fasciculului.
- înălțimea fasciculului, care are cea mai mare rezistență. Prin urmare, acest raport al înălțimii fasciculului cu caneluri până la lățimea acestuia este prescris de regulile pentru producția de lucrări de construcție.
O altă sarcină de concentrare practică evidentă.
Un rezervor deschis, având forma unui paralelipiped dreptunghiular cu o bază pătrată, trebuie să conțină V l. lichid. La ce dimensiune a rezervorului este nevoie de cea mai mică cantitate de metal?
Soluție: Să ABCDA1B1C1D1 să fie un rezervor deschis dat, având forma unui paralelipiped dreptunghiular cu o bază pătrată: AB = AD = x; AA1 ((ABC), AA1 = H.
Dacă rezervorul are un volum predeterminat V, atunci
Cantitatea de metal necesară producției sale este o funcție care depinde de mărimea ei, pe care o găsim ca sumă a suprafețelor laterale și a bazei:
Funcția obținută S (x) este investigată pentru cea mai mică valoare:
Astfel, cu dimensiunile și pentru fabricarea unui rezervor cu volum V, este necesară cea mai mică cantitate de metal.
Platforma de foraj este situată într-un câmp de 9 km. de la cel mai apropiat punct de autostradă. Deoarece foraj este necesară pentru a trimite un curier în oraș, situat pe autostradă, la 15 km de punctul menționat (presupunând un drept rutier) viteza de curierat pe o bicicletă pe teren, la 8 km / h, iar pe autostrăzi 10 kmh. La ce punct al autostrăzii trebuie să ajungă să ajungă la decontare în cel mai scurt timp posibil?
Să fie x km. - la această distanță de punctul H (cel mai apropiat punct al autostrăzii de la platformă) există un punct P la care trebuie să ajungă curierul să ajungă în cel mai scurt timp la așezarea C. Apoi:
- distanța de la turn de-a lungul câmpului până la punctul P de pe autostradă;
h - timpul pentru care va depăși această distanță la o viteză de 8 km / h.
- distanța de la punctul P la C de-a lungul autostrăzii;
h - timpul pentru care curierul va traversa distanța RS pe autostradă;
- timpul total de deplasare de la B la C, care este o funcție a variabilei x, și care trebuie investigat de condiția cu cea mai mică valoare la.
Deci, curierul trebuie să meargă la punctul P, care este cel mai apropiat punct de pe drumul spre platformă la o distanță de 12 km.
Aceste simple, dar convingătoare, confirmând valoarea lor practică, sarcinile optime din cursul școlii, provoacă un interes pentru ei.
Când au apărut și care este rolul lor în dezvoltarea științei matematice?
După cum sa dovedit, studiul problemelor la maxim și la minim a început cu mult timp în urmă în matematică - acum douăzeci și șase de secole (2). De exemplu, problema clasică isoperimetrică - problema lui Dido, a fost discutată în secolul al V-lea î.Hr. e. (Cifrele isoperimetrice sunt cifre care au același perimetru). Potrivit legendei, prințesa feniciană Dido, fugind de persecuția fratelui ei, a mers spre vest de-a lungul țărmurilor mediteraneene pentru a căuta refugiu. Îi plăcea un loc pe site-ul din Golful Tunisului. Didona a condus negocierile cu liderul local Yarbom privind vânzarea de terenuri. A întrebat foarte puțin - la fel de mult cum puteți "înconjura pielea taurului". Didone a reușit să-l convingă pe Yarba. Tranzacția a avut loc, iar apoi Dido tăiat pielea de bou în benzi mici, le-legat și înconjurat de o suprafață mare, pe care cetatea, și în vecinătatea acestuia - orașul Cartagina.
De ce "înconjurat"? Chiar și în acele zile matematică Pitagora, Arhimede, Aristotel, Zenodorus demonstrat că suprafața acoperită de o anumită lungime a oricărei curbe închise nu depășește o zonă circulară, cercul care are aceeași lungime. „Pase“ a dovedit că, dacă există un n-poligon plat având cea mai mare suprafață între toate -gons n cu un perimetru prestabilit, ar trebui să fie echilateral și equiangular.
Într-adevăr, pătratul este soluția unei probleme izoperimetrice moderne din manualele școlare:
O bucată de fir de lungime de 1 metru este îndoită, astfel încât să se formeze un dreptunghi. Cât timp trebuie să aibă laturile dreptunghiului, astfel încât zona sa să fie cea mai mare?
Permiteți perimetrul ABCD = l m, apoi suma celor două laturi adiacente ale contorului. Dacă xm este lungimea unei părți, atunci () m este lungimea celeilalte.
Zona este o funcție care trebuie examinată pentru cea mai mare valoare a intervalului (0;).
- Punctul critic al funcției S (x)
- maxim, adică atunci când funcția are cea mai mare valoare.
În cazul în care. atunci. - laturile sunt aceleași. Cel mai mare pătrat al unui perimetru cu perimetrul l este un pătrat cu o latură.
Problema GERON: Două puncte A și B sunt date pe o parte a liniei l. Este necesar să găsim un punct A pe l astfel încât suma distanțelor de la A la D și de la B la A să fie cea mai mică.
1) Construim un punct B1 simetric cu B în raport cu l :.
2) Conectați A și B1, apoi.
Se solicită punctul D :; AD + BD este cea mai mică sumă.
Considerăm orice punct D1 pe l. Să comparăm sumele distanțelor AD + DB și AD1 + D1B:
AD1 + D1B = AD1 + D1B1, deoarece D1B = D1B1.
АД1 + D1B1> АВ1 (de la (АД1В1), dar АВ1 = АD + DВ1 = АD + DВ, DВ1 = DВ.
Deci, AD1 + D1B1> AD + DB; AD1 + D1B> AD + DB pentru orice punct D1 diferit de D. Prin urmare, AD + DB este cea mai mică sumă de distanțe de la A la D și de la B la D.
Metodele inutile de probleme prețioase pentru o maximă și minimă ascundă în adâncimile celei mai vechi științe matematice - geometrie.
"În acest text scrieți paralelamentul AMNK al celei mai mari zone" (2).
Și astăzi o putem rezolva așa.
Soluție: permiteți (ABC AC = b; BB1 = H - înălțime (ABC.
Indicăm lungimea AK cu x, 0 0.
Am obținut o funcție care trebuie investigată pentru cea mai mare valoare:
- punctul maxim al vizibilității statuei pentru observator va fi la o distanță de un metru. de la baza piedestalului.
Dacă a = 3; b = 2. 5; c = 1. 5, apoi == 2 (m).
Dacă a = 6; b = 3. 7; c = 1. 7, apoi == 4 (m).
De ce au fost puse și de ce s-au rezolvat astfel de sarcini? Ce îi atrage? De ce ne place să discutăm sarcini la maxim și la minim?
Acest lucru nu este atât de ușor de explicat, dar rămâne faptul că pe tot parcursul istoriei matematicii, problemele unui interes extrem de excitat și dorința de a le rezolva. Poate că totul este că un om se străduiește să perfecționeze, că există un stimul misterios pentru a înțelege "esența"?
Și poate în probleme extreme întotdeauna sau cel puțin, de multe ori există ceva elegant, atractiv, ceva de frumusete, care este faptul că matematica a spus odată Russell, care a vorbit nu numai adevărul, ci frumusețea supremă, accesibil numai celei mai mari arte.
Poate că acest lucru ne motivează să rezolvăm problemele maxim și minim.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: