Normele vectorilor și matricelor

Metodele computaționale de algebră liniară includ soluția următoarelor probleme:

1) Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAU).

2) Calculul factorilor determinanți ai matricei pătrate A.







3) Pentru o matrice pătrată A, calculul inversului A -1.

4) Determinarea valorilor proprii și vectorilor proprii ai matricei pătrate A.

În rezolvarea multor probleme aplicate, conceptele normei vectorilor și normele matricelor sunt foarte utile.

Definiție 3 .1. Norma unui vector este un număr nonnegativ, care este notat cu || || și îndeplinește următoarele condiții:

Norma vectorului poate fi introdusă în diverse moduri. Cel mai adesea pentru vectori de spațiu aritmetic n-dimensional

(numit sferic, este generat de un produs scalar și determină lungimea vectorului).

Norma (3.3) este generată de produsul scalar, care este exprimat prin formula :.

Pentru produsul scalar al vectorilor se află următoarele relații:

Dacă A este o matrice simetrică, atunci =.

Definiția 3. 2. Dacă norma || | |, atunci norma care o corespunde în spațiul matricelor este numită normă

Coordonată cu normele vectorilor (3.1) - (3.3), normele matricelor sunt definite prin formule







În formula (3.7), valorile proprii ale matricei A T A., care este simetrică.

Formula (3.7) rezultă din faptul că pentru matricea simetrică B putem dovedi validitatea relației:

unde li sunt valorile proprii ale matricei B.

Definiție 3 .4. Spunem că o secvență de vectori converge la un vector în raport cu o normă dată || || dacă relația = 0 are loc.

Din echivalența normelor || || 1. || || 2 și || Rezultă că dacă o secvență de vectori converge într-una din aceste norme, atunci ea converge în raport cu normele rămase.

Suntem de acord cu ceea ce urmează conform normei || || înseamnă una dintre normele de mai sus și, dacă este necesar, specificați care dintre ele.

Mai mult, prin norma unei matrice înțelegem o normă compatibilă cu norma matricei.

Condițiile teoretice pentru existența și unicitatea soluției sistemelor de ecuații liniare sunt cunoscute - determinantul principal nu trebuie să fie zero. Apoi, soluția poate fi găsită prin regula lui Cramer sau prin metoda de a elimina Gauss necunoscut. Metoda Gaussiană și regula lui Cramer se referă la metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Acestea permit un număr finit de acțiuni pentru a obține o soluție exactă a sistemului, cu condiția ca toate acțiunile să fie efectuate cu exactitate, fără a fi rotunjite. Dar, în practică, pentru ordinele mari ale sistemului, regula Cramer necesită prea mult timp pentru a calcula determinanții. Dacă determinanții sunt definiți formal ca suma n termenilor, atunci numărul de operații este de ordinul n. N. Regula Cramer este folosită mai des pentru cercetarea teoretică, dar în practică este aproape nefolosită.

Metoda de eliminare a Gauss-ului necunoscut pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este mai eficientă decât regula lui Cramer. Mai mult decât atât, este de asemenea eficientă în calcularea determinantului și a matricei inverse.

Cu un număr mare de necunoscute, uneori se dovedește că este mai avantajos să se rezolve sistemul de ecuații prin metoda iterației, care oferă o soluție aproximativă a sistemului.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: