m-completitudinea și eficiența neeligibilității
Teoria algoritmilor permite, așa cum se spune, să "construiască" definiții diferite. Ca exemplu, să luăm definiția unui set infinit. Ce este un set infinit. Acesta este un set care conține cel puțin n elemente pentru orice număr natural n. Acum putem spune acest lucru: un set se numește "efectiv infinit" dacă există un algoritm. care pentru orice n indică n diferite elemente ale acestui set.
48. arată că un set arbitrar A este efectiv infinit dacă și numai dacă acesta conține un set enumerable infinit (e la nesfârșit, dar nu este imun).
Acum suntem interesați de o versiune eficientă a conceptului de non-lisabilitate. Ce inseamna ca setul A nu este enumerabil? Acest lucru înseamnă (truism) că A diferă de orice set enumerabil. Este normal să numiți setul A într-un mod efectiv, care nu poate fi enumerat, dacă există un loc în raport cu orice set enumerabil. unde diferă de A.
Mai formal, rezolvăm un set principal universal enumerabil W (și astfel enumerarea seturilor enumerabile: numărul n este considerat a fi numărul setului Wn). Spunem că setul A este în mod efectiv non-enumerabil. dacă există o funcție computabilă definită peste tot f. că Wz pentru toate z. (Aici este diferența simetrică, cu alte cuvinte f (z) este punctul în care A diferă de Wz.)
Rețineți că această proprietate nu depinde de alegerea setului universal principal. deoarece din numerele relative la un astfel de set se poate trece efectiv la numerele relative la celălalt.
Proprietatea non-listibilității efective admite o simplă caracterizare în ceea ce privește m-reductibilitatea. Să începem cu această observație simplă.
Teorema 34. Dacă A <=m B и A эффективно неперечислимо, то и B эффективно неперечислимо.
Această teoremă este o "variantă eficientă" a teoremei 31, partea (b). Același lucru se poate spune despre dovada ei. Să presupunem că vrem să găsim punctul în care B este diferit de un set de X. ce ia în considerare funcția f. care m -uniformly reductibil la B. O preimage de f -1 (X) cu un set X este recenzată listă de mapare calculabil, prin urmare, este posibil să se găsească punctul m. în care aceasta este diferită de A. Atunci B diferă de la X f (m).
Pentru a face acest argument precis, trebuie doar să dovedească faptul că numărul de enumerable set de f-1 (X) poate fi preparat în mod eficient într-o enumerare număr de X. Pentru a face acest lucru, trebuie să profităm de faptul că numerotarea circuitului principal de aici este aceeași cu cea a calculul numărului de compoziție a două funcții calculate prin numerele lor (teorema 16). Vom face această discuție în detaliu.
Luați în considerare un set enumerabil
(este listibilă, deoarece este un preimage al unui set W enumerabil sub o mapare computabilă). Este ușor să vedem că Vn = f -1 (Wn). Deoarece setul W este un set universal principal. atunci există o funcție calculată peste tot definită. pentru care Ws (n) = Vn = f -1 (Wn) pentru toate n. Cu alte cuvinte, funcția s cu privire la numărul W al oricărui set enumerabil dă lui W numărul numărului său invers sub harta f. după cum este necesar.
Teoremă 35. Există numeroase seturi cu complementări efectiv non-listibile.
Considerăm din nou setul diagonal. Adunarea lui va fi efectiv non enumerable. De fapt, mulțimile Wn și D se comportă identic la punctul n. prin urmare, Wn diferă de complementul la D în acest moment. Astfel, lângă efectiv D listable, în care ca funcția f în definirea efectivă non-listability poate lua funcția de identitate.
Din cele două teoreme anterioare rezultă că:
Teorema 36. Fiecare set m-complet enumerabil are un complement efectiv netlistabil.
De fapt, inversul este de asemenea adevărat. Pentru a vedea acest lucru, dovedim următorul fapt:
Teorema 37. Fie K un set enumerabil recursiv, și A într-adevăr un non-listable. Apoi N \ K <=m A (или, что эквивалентно, K <=m N \ A ).
De fapt, este important să reușim să distingem A eficient de la doar două seturi enumerate din seria goală și din întreaga serie naturală. Pentru a distinge A de un set gol înseamnă a specifica un element în A; pentru a distinge de întreaga serie naturală înseamnă a indica un element în afara lui A. Aceste două lucruri sunt folosite în reducere. Mai formal, considerăm setul V = K x N. Secțiunile lui Vn sunt fie goale (pentru), fie coincid cu întreaga serie naturală (pentru). Folosind faptul că mulțimea W este principala, găsim o funcție definită peste tot. pentru care pentru și Ws (n) = N pentru. Fie f o funcție. care asigură nevalabilitatea efectivă a setului A. Apoi pentru și cu. Cu alte cuvinte, compoziția funcțiilor f și s reduce N \ K la setul A. După cum este necesar.
Aceasta implică, în mod evident, următoarele afirmații:
Teorema 38. Un set enumerabil este m-completat dacă și numai dacă complementul său este efectiv ne-listibil.
Teorema 39. listable eficientă este dacă și numai dacă m la acesta -uniformly plus unele reductibil (opțiune: orice) m set -complet.
Rețineți că nu toate seturile care nu sunt enumerate sunt efectiv non-listable. Acest lucru se poate vedea, de exemplu, din acest fapt:
Teorema 40. Orice set efectiv care nu poate fi enumerat conține un subset infinit enumerabil (e nu este imun).
De fapt, permiteți-l să fie efectiv non-listable. Apoi îl deosebim de un set gol, adică găsim un element în el. După aceasta, îl deosebim de un set unic. care constă din acest element și găsim un alt element. Acționând astfel, putem găsi în mod arbitrar, în mod arbitrar, mai multe elemente diferite.
În acest argument am folosit acest fapt: prin mulțimea finită dat de o listă a elementelor sale, se poate obține numărul său (mai precis, unul din numere) în enumerarea principală a seturilor enumerabile. De ce este așa? Să se fixeze o anumită numerotare numerică a seturilor finite. Noi denotăm setul n-t finit în această numerotare de către Dn. Apoi, Dn este secțiunea n a unui set enumerabil (și chiar rezolvat)
Rămâne să se utilizeze definiția enumerării principale a seturilor enumerabile.
Seturi simple. care, după cum știm, există (teorema 14), sunt exemple de seturi enumerabile care nu sunt complete. Acesta este modul în care a apărut noțiunea de prim set. Postul a căutat un exemplu de set enumerabil care nu poate fi rezolvat. care nu ar fi completă.
Trimiteți-le prietenilor: