Dacă pentru o ecuație de ordinul întâi soluția totală conține o constantă arbitrară, atunci pentru o ecuație n-ordină soluția generală depinde de n constante arbitrare.
Definiția. Funcția se numește soluția generală a ecuației (1) dacă sunt îndeplinite două condiții:
1) această funcție satisface ecuația (1) pentru orice valoare a constantelor;
2) Pentru condițiile inițiale date, constantele pot fi alese astfel încât să fie îndeplinite aceste condiții inițiale.
Conceptul unei soluții particulare de ecuație
Definiția. O soluție particulară a ecuației (1) este orice soluție a acesteia, care este obținută din soluția generală pentru valorile specifice ale constantelor.
Cea mai simplă ecuație a ordinului n este ecuația :.
Soluția sa generală se găsește prin integrarea secvențială de n-ori a ambelor laturi ale ecuației.
7. Ecuațiile care permit ordinea descrescătoare
Una dintre principalele metode de integrare a ecuațiilor diferențiale de ordin superior este metoda de reducere a ordinii ecuației.
Luați în considerare, de exemplu, o ecuație de ordinul doi: (1)
Cazul I. Să presupunem că partea stângă a ecuației (1) nu conține în mod explicit funcția dorită; nu conține y și are forma: (2)
În acest caz, scăderea ordinului se face prin substituire:
Înlocuirea și în (2) ordinea va scădea.
Cazul II. Să presupunem că partea stânga a ecuației (1) nu conține o variabilă independentă x. și anume (3)
Apoi, o scădere în ordine este obținută prin substituire.
Diferențierea acestei egalități în raport cu x se face prin regula unei funcții complexe, adică , dar, în consecință, atunci.
Cazul III. Intermediar integral.
Se poate dovedi că partea stângă a ecuației (1) este derivatul total în raport cu x unei anumite expresii, adică
. Apoi ecuația ia forma:
Integrând ambele laturi ale ecuației, găsim un integral intermediar, ordinea ecuației scăzând cu una.
Soluția. Se scrie separat partea stângă:
acesta este un integral intermediar;
8. Ecuații diferențiale lineare înalte
Definiția. O ecuație diferențială este numită liniară. Dacă este de gradul întâi în ceea ce privește funcția necunoscută și derivatele acesteia.
Definiția. O ecuație liniară neomogenă liniară a ordinii n este o ecuație a formei:
unde funcțiile numite coeficienți și o funcție numită partea dreaptă a ecuației sunt definite într-un anumit interval.
Dacă, atunci împărțim întreaga ecuație, primim: (1)
Dacă, atunci obținem ecuația: (2), care se numește ecuația liniară omogenă corespunzătoare acestei ecuații neomogene (1).
De exemplu, este dată o ecuație. Omogene vor fi :.
9. Proprietățile soluțiilor unei ecuații liniare omogene
Articole similare
-
Care sunt proprietățile organismelor vii asociate cu conceptul de reproducere a stadopediei
-
Conceptul de conflict legal, obiectul, metodele de soluționare (p.
Trimiteți-le prietenilor: