"Există trei tipuri de minciuni: minciuni, minciuni flagrante și statistici". Această expresie este atribuită Mark Twain prim-ministru britanic Benjamin Disraeli, bine reflectă atitudinea majorității legilor matematice. Într-adevăr, teoria probabilității, uneori, aruncă fapte surprinzătoare, în care greu de crezut la prima vedere - și care, cu toate acestea, confirmate de știință. "Teoriile și practicile" au reamintit cele mai faimoase paradoxuri.
A fost această sarcină în filmul "Douăzeci și unu" pe care profesorul viclean MIT le-a oferit studenților. După ce a dat răspunsul corect, personajul principal intră în echipa tinerilor matematicieni străluciți, care învinge cazinoul din Las Vegas.
Formularea clasică sună astfel: "Să spunem că un jucător a fost invitat să participe la faimoasa emisiune americană de televiziune Let's Make a Deal, care conduce la Monti Hall și trebuie să aleagă una din cele trei uși. În spatele celor două uși sunt caprele, pentru unul - premiul principal, mașina, gazda cunoaște locația premiilor. După ce jucătorul își alege alegerea, prezentatorul deschide una dintre ușile rămase în spatele căreia se află capra și invită jucătorul să-și schimbe părerea. În cazul în care jucătorul este de acord sau mai bine să-și păstreze alegerea inițială? "
Aici este o linie tipică de raționament: după ce prezentatorul a deschis una dintre ușile și a arătat capra, jucătorul poate alege între două uși. Mașina se află în spatele uneia dintre ele, astfel încât probabilitatea de a ghici este ½. Deci, nu există nici o diferență - să vă schimbați alegerea sau nu. Și totuși, teoria probabilității spune că puteți crește șansele de a câștiga schimbând decizia. Vom înțelege de ce este așa.
Pentru asta ne întoarcem un pas. La acel moment, atunci când am făcut alegerea noastră inițială, am împărțit ușa în două părți: contactul selectat, și celelalte două. Este evident că probabilitatea ca mașina se ascunde în spatele ușii „nostru“ este ⅓ - respectiv, mașina se află în spatele uneia dintre cele două uși rămase, cu o probabilitate de ⅔. În cazul în care comandantul indică faptul că, pentru una dintre aceste uși - o capră, se dovedește că acestea ⅔ șansa de a cădea pe a doua ușă. Acest lucru reduce alegerea jucătorului a două uși, în spatele uneia dintre care (selectate inițial), masina este probabil să ⅓, iar pentru celălalt - cu o probabilitate de ⅔. Alegerea devine evidentă. Care, desigur, nu anulează faptul că de la început jucătorul putea alege o ușă cu o mașină.
Paradoxul celor trei prizonieri este similar cu problema Monti Hall, deși acțiunea are loc în condiții mai dramatice. Trei prizonieri (A, B și C) au fost condamnați la moarte și plasați în izolare. Guvernatorul alege aleator unul dintre ei și îi acordă iertare. Gardianul știe care dintre cei trei a fost iertat, dar i sa spus să-i păstreze un secret. Prizonierul A cere apărătoarea să-i spună numele celui de al doilea deținut (în afară de sine), care va fi pedepsit cu moartea: „Dacă iertat, spune-mi ce va fi executat B. Dacă grațiat, spune-mi ce va fi executat B. În cazul în care ambele vor fi executate , dar sunt iertat, arunc o monedă și spun oricare dintre aceste două nume. Supraveghetorul spune că se va executa prizonierul B. Este meritat să se bucure în prizonierul A?
Se pare că da. La urma urmei, pentru a obține aceste informații, probabilitatea de deces a fost ⅔ prizonier, iar acum el știe că unul dintre ceilalți doi deținuți ar fi executat - prin urmare, probabilitatea pedepsei sa redus la ½. Dar, de fapt, un prizonier nu a învățat nimic nou dacă nu este iertat, el va chema numele unui alt deținut, și el știa deja că unele dintre cele două rămase executate. Dacă el a fost norocos, iar execuția a fost anulat, el va auzi un nume aleator este B sau C. Prin urmare, șansele de supraviețuire nu s-au schimbat.
Și acum, să ne imaginăm că unul dintre prizonierii rămași află despre problema prizonierului A și răspunsul primit. Acest lucru va schimba înțelegerea sa cu privire la probabilitatea de iertare.
Dacă conversația a fost ascultată de prizonierul B, el află că el este executat. Și dacă prizonierul B, probabilitatea de iertare va fi ⅔. De ce sa întâmplat asta? Prizonierul A nu a primit nici o informație, iar șansele de iertare sunt încă ⅓. Prizonierul B nu este foarte iertat, iar sansele lui sunt zero. Prin urmare, probabilitatea ca un al treilea prizonier să fie eliberat este ⅔.
Paradoxul este că până când ați deschis probabilitatea dvs. plic se comporte cu bună-credință: într-adevăr 50 la suta sansa de a descoperi în plic său suma X și 50 la sută - cantitatea de 2X. Și bunul simț dictează că informațiile despre suma pe care o ai nu sunt susceptibile de a afecta conținutul celui de-al doilea plic.
Cu toate acestea, de îndată ce vă deschide plicurile, situația se schimbă drastic (acest paradox este oarecum similar cu povestea pisicii lui Schrödinger. În cazul în care prezența observatorului în sine afectează situația). Faptul este că, pentru a îndeplini condițiile paradoxului, probabilitatea de a găsi o cantitate mai mare sau mai mică în al doilea plic decât ar trebui să fie aceeași. Dar atunci orice valoare a acestei sume este la fel de probabilă de la zero la infinit. Și dacă există un număr de posibilități la fel de infinit, în sumă ei dau infinit. Și acest lucru este imposibil.
Pentru claritate, vă puteți imagina că veți găsi un cent în plic. Evident, în al doilea plic nu poate fi o sumă jumătate.
Este curios că discuțiile despre soluționarea paradoxului continuă chiar și acum. În același timp, se încearcă atât explicarea paradoxului din interior, cât și dezvoltarea celei mai bune strategii de comportament într-o astfel de situație. În special, profesorul Thomas Cover a propus o abordare originală la formarea strategiei - pentru a schimba sau nu pentru a schimba plicul ghidat de un fel de așteptări intuitiv. Spuneți, dacă ați deschis un plic și ați găsit 10 $ în el - o sumă mică conform estimărilor dvs. - merită schimbată. Și dacă într-un plic, spuneți 1.000 de dolari, care depășesc așteptările voastre cele mai sălbatice, atunci nu trebuie să vă schimbați. Această strategie intuitivă dacă vă oferă în mod regulat selectați două plicuri, o oportunitate de a crește câștigul total mai mult de o strategie de schimburi constante plic.
S-ar părea că sarcina este simplă. Cu toate acestea, dacă începem să înțelegem, se dezvăluie un fapt curios: răspunsul corect va diferi în funcție de modul în care se calculează probabilitatea sexului unui alt copil.
Luați în considerare toate combinațiile posibile în familiile cu doi copii:
Opțiunea fată / fată nu ne convine în funcție de condițiile acestei sarcini. Prin urmare, pentru familia domnului Smith, există trei opțiuni la fel de probabil - ceea ce înseamnă că probabilitatea ca un alt copil să fie și băiat este ⅓. Acesta este exact răspunsul pe care la dat inițial Gardner.
Imaginați-vă că îl întâlnim pe domnul Smith pe stradă când merge cu fiul său. Care este probabilitatea ca cel de-al doilea copil să fie și băiat? Deoarece sexul celui de-al doilea copil nu depinde de sexul primului copil, răspunsul evident (și corect) este ½.
De ce se întâmplă acest lucru, se pare că nimic nu sa schimbat?
Totul depinde de modul în care abordăm întrebarea de a număra probabilitatea. În primul caz, am luat în considerare toate variantele posibile ale familiei Smith. În al doilea, am considerat toate familiile care se încadrează în condiția obligatorie "trebuie să existe un băiat". Calcularea probabilității de al doilea etaj al copilului a fost realizat cu această condiție (în teoria probabilităților, aceasta se numește o „probabilitate condiționată“), ceea ce a condus la un rezultat diferit de primul.
Trimiteți-le prietenilor: