Alegem astfel încât a-cartierele punctelor b și a să nu se intersecteze (nu aveau puncte comune). Luați, de exemplu,. Din moment ce numărul b este limita secvenței, atunci de cea dată se poate găsi numărul N astfel încât pentru toți. Prin urmare, în afara intervalului, poate apărea doar un număr finit de termeni ai secvenței. În special, intervalul poate conține numai un număr finit de termeni în secvență. Acest lucru contrazice faptul că a este limita unei secvențe (orice vecinătate a unui must conține un număr infinit de termeni în secvență). Această contradicție arată că secvența nu poate avea două limite distincte. Astfel, o secvență convergentă are o singură limită.
Se spune că secvența este mărginită mai jos. dacă există un număr astfel încât toți termenii secvenței să satisfacă condiția, adică,
Se spune că o secvență este limitată de sus. în cazul în care:
O secvență delimitată de jos și de deasupra este numită limitată. adică, se spune că o secvență este limitată. în cazul în care:
aceasta poate fi scrisă după cum urmează:
Astfel, se spune că o secvență este mărginită dacă setul de valori este limitat.
Teoremă: (pe limita unei secvențe convergente)
Dacă secvența are o limită, atunci este limitată.
Fie secventa o limita egala cu a. Prin definirea limitei găsim numărul N astfel încât pentru toți avem inegalitatea. Întrucât modulul sumei nu depășește suma modulelor, atunci:
Prin urmare, pentru toți, inegalitatea deține:
Să presupunem că, atunci pentru toate, adică, secvența este limitată.
Observație: În virtutea teoriei precedente, fiecare secvență convergentă este mărginită. Conversia nu este adevărată: nu fiecare secvență limitată este convergentă! De exemplu. Secvența este limitată, dar nu convergentă.
Notă: Dacă condiția nu se menține, adică,
atunci ei spun că secvența nu este limitată.
Exemplu: demonstrați că secvența este mărginită, dacă și pentru toți.
Pentru că, atunci. Pentru un anumit număr, prin definirea limitei unei secvențe, există un număr astfel încât:
Folosirea inegalității pentru modulul diferenței
și inegalitatea, ajungem acolo. Și pentru toți, inegalitatea este valabilă.
Fie C = max, pentru toate, inegalitatea deține, adică este o secvență limitată.
Unicitatea limitei
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: